1r ciclo Regla de la cadena

[unoonox]

Buenas, tengo bastantes dudas con el uso de la regla de la cadena en ecuaciones con derivadas parciales, a ver si me podéis ayudar con este:
Supongamos que una función f(x,y) satisface la ecuación de ondas bidimensional

$\frac{{\partial}^{2}f}{\partial{t}^{2}}={a}^{2}(\frac{{\partial}^{2}f}{\partial{x}^{2}}+\frac{{\partial}^{2}f}{\partial{y}^{2}})$

Probar que tras el cambio de variables F(r,θ,t) = f(r cosθ, r senθ, t) se satisface la ecuación

$\frac{{\partial}^{2}F}{\partial {t}^{2}} = {a}^{2} ($$\frac{{\partial}^{2}F}{\partial {t}^{2}} +\frac{1}{{r}^{2}}\frac{{\partial}^{2}F}{\partial {\theta}^{2}} +\frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial r})$

No veo el camino que debo seguir para resolverlo. Creo que es necesario decir que nunca he trabajado con ecuaciones de onda de este tipo, sólo son ejercicios de análisis. Ayuda, por favor, al menos alguna pista o pequeña explicación
Gracias

[Alriga]

Re: Regla de la cadena

Mira este blog de Richard R. Richard en donde hace un cambio de variables en una función de ondas, a ver si te da pistas: Trasformaciones de Galileo aplicadas a la función de onda electromagnética

Saludos.

[unoonox]

Re: Regla de la cadena

Me pierdo en el paso de la derivada segunda, creo que no he llegado a entenderla... me lío mucho respecto a cómo realizarla. La primera parcial es sencilla, pero la segunda...ya es harina de otro costal.

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Ahí es dónde no veo lo que pasa, alguna pequeña explicación que me abra la mente me vendría de perlas

- - - Actualizado - - -

Vale, acabo de entender por qué hace eso, pero la verdad es que, por más que lo intento, no consigo resolver el ejercicio que dije, básicamente, no sé por qué aparece en la primera ecuación una t, lo que me hace entender que f depende también de t aparte de x e y, pero no aparece así en el ejercicio, donde aparece f(x,y). No sé, me siento confundido. Además, esos son los cambios a cilíndricas, ¿no debería ser f(x,y,t) para luego ser f(r,θ,t)?

[Richard R Richard]

Re: Regla de la cadena

lo que me hace entender que f depende también de t aparte de x e y, ..... ¿no debería ser f(x,y,t) para luego ser f(r,θ,t)?

Si satisface la ecuación de ondas, entonces f depende tambien del tiempo como tu bien supones...

Además, esos son los cambios a cilíndricas,

si , correcto, es un cambio de variables...aunque en rigor....

si no te lo aclaran es para que fijes concepto,

$f = f(x,y,t)$

luego $x=(r,t,\theta)$ e $y=y(r,t,\theta)$

entonces $F=f(x(r,t,\theta),y(r,t,\theta))=F(r,t,\theta)$

[unoonox]

Re: Regla de la cadena

Sigo con la duda de si los cambios son los siguientes:

x = r cosθ
y = r senθ
t = t

El último está bien?

[Richard R Richard]

Re: Regla de la cadena

Sí.


las derivadas parciales son


$\dfrac{\partial x}{\partial r}=\cos \theta$

$\dfrac{\partial y}{\partial r}=\sin \theta$

$\dfrac{\partial t}{\partial r}=0$


$\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin \theta$

$\dfrac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos \theta$

$\dfrac{\partial t}{\partial \theta}=0$


$\dfrac{\partial x}{\partial t}=0$

$\dfrac{\partial y}{\partial t}=0$

$\dfrac{\partial t}{\partial t}=1$


la derivada total con respecto a cada variable


$\dst \frac{\partial F}{\partial r}=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}+\frac{\partial F}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial r}$


$\dst \frac{\partial F}{\partial \theta}=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta}+\frac{\partial F}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial \theta}$


$\dst \frac{\partial F}{\partial t}=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial t}$




entonces


$\dst \frac{\partial F}{\partial r}=\frac{\partial F}{\partial x}\cos \theta+\frac{\partial F}{\partial y}\sin \theta+\frac{\partial F}{\partial t}0$

$\dst \frac{\partial F}{\partial \theta}=\frac{\partial F}{\partial x}(-r)\sin \theta+\frac{\partial F}{\partial y}\cos \theta+\frac{\partial F}{\partial t}0$

$\dst \frac{\partial F}{\partial t}=\frac{\partial F}{\partial x}0+\frac{\partial F}{\partial y}0+\frac{\partial F}{\partial t}1$

quedando


$\dst \frac{\partial F}{\partial r}=\frac{\partial F}{\partial x}\cos \theta+\frac{\partial F}{\partial y}\sin \theta$

$\dst \frac{\partial F}{\partial \theta}=-\frac{\partial F}{\partial x}r\sin \theta+\frac{\partial F}{\partial y}\cos \theta$

$\dst \frac{\partial F}{\partial t}=\frac{\partial F}{\partial t}$


Ahora debes volver a derivar y luego reemplazar por los datos de la igualdad del enunciado y ver si se cumple la condición

[unoonox]

Re: Regla de la cadena

¿Podría alguien decirme cómo sería la derivada de segundo orden de x? Ocurre que no consigo llegar a nada porque no comprendo cómo funciona la segunda derivada parcial, se me resiste aplicar la regla de la cadena...

[HanT]

Re: Regla de la cadena

En este video hace el cambio a esféricas. Más arduo que lo que pides tú creo, pero te servirá para ver la dinámica de los cálculos. Parece bastante largo pero al principio explica muchas cosas que ya sabrás supongo como el cambio de coordenadas a esféricas.

[Richard R Richard]

Re: Regla de la cadena

$\dfrac{\partial^2 F}{\partial r^2}= \dfrac{\partial\left ( \frac{\partial F}{\partial r} \right )}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r}+\dfrac{\partial\left ( \frac{\partial F}{\partial r} \right )}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r}+\dfrac{\partial\left ( \frac{\partial F}{\partial r} \right )}{\partial t} \dfrac{\partial t}{\partial r}$

donde

$\dst \frac{\partial F}{\partial r}=\frac{\partial F}{\partial x}\cos \theta+\frac{\partial F}{\partial y}\sin \theta$


$\dst \frac{\partial F}{\partial \theta}=-\frac{\partial F}{\partial x}r\sin \theta+\frac{\partial F}{\partial y}\cos \theta$


$\dst \frac{\partial F}{\partial t}=\frac{\partial F}{\partial t}$


$\dfrac{\partial x}{\partial r}=\cos \theta$ , $\dfrac{\partial y}{\partial r}=\sin \theta$ , $\dfrac{\partial t}{\partial r}=0$

$\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin \theta$ , $\dfrac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos \theta$ , $\dfrac{\partial t}{\partial \theta}=0$


$\dfrac{\partial x}{\partial t}=0$ , $\dfrac{\partial y}{\partial t}=0$ , $\dfrac{\partial t}{\partial t}=1$

$\dfrac{\partial\left ( \frac{\partial F}{\partial r} \right )}{\partial x}=\left [\dfrac{\partial^2F}{\partial x^2} \dfrac{\partial x} {\partial r}+\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial y} \dfrac{\partial y} {\partial r}+\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial t} \dfrac{\partial t} {\partial r}\right ]$

$\dfrac{\partial\left ( \frac{\partial F}{\partial r} \right )}{\partial y} =\left [\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial y} \dfrac{\partial x} {\partial r}+\dfrac{\partial^2F}{\partial y^2} \dfrac{\partial y} {\partial r}+\dfrac{\partial^2F}{\partial y\partial t} \dfrac{\partial t} {\partial r}\right ]$

$\dfrac{\partial\left ( \frac{\partial F}{\partial r} \right )}{\partial t}=\left [\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial t} \dfrac{\partial x} {\partial r}+\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial y} \dfrac{\partial y} {\partial r}+\dfrac{\partial^2F}{\partial t^2} \dfrac{\partial t} {\partial r}\right ]$



$\dfrac{\partial\left ( \frac{\partial F}{\partial r} \right )}{\partial x}=\left [\dfrac{\partial^2F}{\partial x^2} \cos \theta+\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial y} \sin\theta+\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial t} 0\right ]$

$\dfrac{\partial\left ( \frac{\partial F}{\partial r} \right )}{\partial y} =\left [\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial y} \cos \theta+\dfrac{\partial^2F}{\partial y^2} \sin\theta+\dfrac{\partial^2F}{\partial y\partial t} 0\right ]$

$\dfrac{\partial\left ( \frac{\partial F}{\partial r} \right )}{\partial t}=\left [\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial t} \cos \theta+\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial y} \sin \theta+\dfrac{\partial^2F}{\partial t^2} 0\right ]$

$\dfrac{\partial^2 F}{\partial r^2}=$$\left [\dfrac{\partial^2F}{\partial x^2} \cos \theta+\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial y} \sin\theta\right ] \dfrac{\partial x}{\partial r}+$$\left [\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial y} \cos \theta+\dfrac{\partial^2F}{\partial y^2} \sin\theta\right ]\dfrac{\partial y}{\partial r}+$$\left [\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial t} \cos \theta+\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial y} \sin \theta\right ] \dfrac{\partial t}{\partial r}$

$\dfrac{\partial^2 F}{\partial r^2}=$$\left [\dfrac{\partial^2F}{\partial x^2} \cos \theta+\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial y} \sin\theta\right ] \cos \theta+$$\left [\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial y} \cos \theta+\dfrac{\partial^2F}{\partial y^2} \sin\theta\right ]\sin \theta+$$\left [\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial t} \cos \theta+\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial y} \sin \theta\right ] 0$

$\dfrac{\partial^2 F}{\partial r^2}=\dfrac{\partial^2F}{\partial x^2} \cos^2\theta+2\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial y} \cos \theta\sin\theta+\dfrac{\partial^2F}{\partial y^2} \sin^2\theta$


Así tambien calculas

$\dfrac{\partial^2 F}{\partial \theta^2}=....$

$\dfrac{\partial^2 F}{\partial t^2}=.....$


cuando tengas eso lo reemplazas en el a ecuación del encunciado

[unoonox]

Re: Regla de la cadena

Vale, muchas gracias a todos, al fin lo saqué, aunque es largo hasta decir basta...