1r ciclo Encontrar la función que maximiza la diferencia

[Forseti]

Buenas tardes, estoy totalmente atascado en este ejercicio, me gustaría que alguien me indicase alguna pista para poder seguir.

El enunciado es el siguiente:

Sea la función f, continua en el intervalo [0,1]. Definimos las siguientes funciones:

$I(f)= \int_{0}^{1} x^2 f(x) dx$


$J(f)= \int_{0}^{1} x( f(x))^2 dx$

Encuentra la función f que hace máxima la diferencia $I(f) - J(f)$.

Muchas gracias de antemano.

[Richard R Richard]

Re: Encontrar la función que maximiza la diferencia

Los máximos y mínimos se obtienen cuando derivas la función e igualas a 0. Para derivar una integral aplica el teorema fundamental del cálculo.
$\dst <br /> \dfrac{d}{dx}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt} = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

[Forseti]

Re: Encontrar la función que maximiza la diferencia

Los máximos y mínimos se obtienen cuando derivas la función e igualas a 0. Para derivar una integral aplica el teorema fundamental del cálculo.
$\dst <br /> \dfrac{d}{dx}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt} = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

Pero al tener constantes en los límites de integración, al derivar por la regla de la cadena se me anula todo.

[Alriga]

Re: Encontrar la función que maximiza la diferencia

Uso y=f porque me gusta más la y que la f Creo que se hacía así:

$\dst {d \over dx} \int_0^1 (x^2 y- y^2 x) \ dx=\int_0^1 \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 y- y^2 x) \ dx=0$

$\dst \int_0^1 (2xy+x^2y'-y^2-2xyy') \ dx=0$

Pero no veo como seguir.

Saludos.

[arivasm]

Re: Encontrar la función que maximiza la diferencia

Mi óxido en este tema es enoooorme. Sólo aportaré algo señalando que me da la sensación de que se trata de un problema de cálculo variacional y que entonces se resuelve aplicando la ecuación de Euler o semejante.

[carroza]

Re: Encontrar la función que maximiza la diferencia

Uso y=f porque me gusta más la y que la f Creo que se hacía así:

$\dst {d \over dx} \int_0^1 (x^2 y- y^2 x) \ dx=\int_0^1 \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 y- y^2 x) \ dx=0$

$\dst \int_0^1 (2xy+x^2y'-y^2-2xyy') \ dx=0$

Pero no veo como seguir.

Saludos.

Hola. Tienes que derivar con respecto a y. La variable x es un parámetro en la integral, y no cambia.

Te queda, para cada valor de x,

${d \over dy} (x^2 y - y^2 x) = 0$

con lo cual, $x^2 - 2 y x = 0$

y te sale $y=x/2$.

Todo se ve más claro si imaginas la integral como una suma,
$D = \int_0^1 (x^2 y - y^2 x) dx \simeq \sum_i (x_i^2 y_i - y_i^2 x_i) \Delta x$
y consideras que las $y_i$ son unas variables independientes que tienes que optimizar para que cada miembro del sumatorio sea tan grande como sea posible.

Y si, Arivasm, esto es la base de las derivadas funcionales.

Saludos

[Alriga]

Re: Encontrar la función que maximiza la diferencia

... Tienes que derivar con respecto a y. La variable x es un parámetro en la integral, y no cambia ...

Gracias carroza. Después de que te den la solución que lógico se ve todo,... y que zoquete te sientes por no haberlo visto tú solo ... Si buscamos cual es la función "y" que maximiza la expresión, qué menos que derivar respecto de "y" en vez de respecto de "x" ...

Con la función solución del problema $y=\dfrac x 2$ el valor de la integral:

$\dst F=\int_0^1 (x^2 y- y^2 x) \ dx=\dfrac{1}{16}=0.0625$ debe ser un máximo.

Y ahora para entretenerme, he probado a variar un poco los parámetros de la función "y" que ha encontrado carroza, a ver si el valor de F realmente disminuye:

1) Con $y=\dfrac x{2.001}$ sale $F=0.06249998439$

2) Con $y=\dfrac x{1.999}$ sale $F=0.06249998436$

3) Con $y=\dfrac{x^{1.01}}{2}$ sale $F=0.0624992$

4) Con $y=\dfrac{x^{0.99}}{2}$ sale $F=0.0624992$

Vemos que en los 4 casos el valor de la integral sí es menor que para $y=\dfrac x 2$ , como era de esperar si la solución era la correcta.

Saludos.