1r ciclo Th. Función implícita - multivariable I

[The Higgs Particle]

Hola, tengo este ejercicio y tengo dudas de estar haciéndolo bien:


Sea $xy+z+3xz^5 = 4$. Demuestra que se puede escribir $z=z(x,y)$ cerca del punto $(1,0,1)$ y, posteriormente, halla $\dst \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$

a) He aplicado el teorema de la función implícita:

$F(x,y,z) = xy+z+3xz^5-4$

$\Delta_{(1,0,1)} = \left\vert{} \dst \frac{\partial F}{\partial z}\right\vert{} = \left[1+15xz^4 \right]_{(1,0,1)} \neq 0 \to$ se puede despejar $z$ en función de $x,y$


b) Ahora, con la regla de la cadena:

b.1)

$\dst\frac{\partial F(x,y,z(x,y))}{\partial x } = y + \frac{\partial z}{\partial x} + 3z^5 + 15xz^4 \frac{\partial z}{\partial x} = 0$

Despejando:

$\dst \frac{\partial z}{\partial x } = \frac{-3z^5-y}{1+15xz^4 }$

Y como estamos en el punto $(1,0):$

$\dst \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{3z^5}{1+15z^4}$

b.2)

$\dst\frac{\partial F(x,y,z(x,y))}{\partial y } = x+ \frac{\partial z}{\partial y}+ 15xz^4 \frac{\partial z }{\partial y} = 0$

Despejando y sustituyendo el punto en el que nos encontramos:

$\dst \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-1}{15z^4+1}$

[Alriga]

Re: Th. Función implícita - multivariable I

Yo lo veo bien aunque si me permites ser tiquismiquis, hay un pequeño "descuido" que podría penalizarte si tu profe es muy estricto:

$F(x,y,z) = xy+z+3xz^5-4$

No es una función en forma implícita z=f(x, y) , de ahí no se puede afirmar que z es función de (x, y), si doy un par de valores cualquiera a (x, y) puedo elegir la z que yo quiera, te falta algo:

$F(x,y,z) = 0 \ \Rightarrow \ \boxed{xy+z+3xz^5-4=0}$

Ahora sí que es una función implícita z=f(x, y) y a partir de aquí no he visto errores en tu desarrollo.

Saludos.