1r ciclo Extremos globales de función

[unoonox]

Buenas, tengo dudas acerca de cómo realizar el siguiente ejercicio de máximos y mínimos de una función tanto en el interior como en la frontera de un cierto compacto. Aquí va:
Sea la función $f(x,y)=x^{2}+ y^{2} + 2(x+y)$ en $x^{2} + y^{2}\leqslant1, x\geqslant0 , y\geqslant0$. Con esto entiendo que se quiere estudiar en el disco unidad del primer cuadrante. Ahora bien, al estudiar la función en el interior, obtengo como punto crítico el (-1,-1), el cual no cuenta pues no se encuentra dentro de la región considerada. Ahora toca la frontera.
Si considero las desigualdades como igualdades y aplico Lagrange, obtengo dos puntos: $(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$
De estos sólo cuenta el segundo. Hasta aquí bien, pero, no os he contado, este ejercicio es de los de elegir la opción correcta. Las opciones son:

a)Máximo en (1,1) pero no tiene mínimo.
b)Mínimos en (0,-1) y en (-1,0); máximo en (1,1)
c)Mínimo en (0,0) y máximo en (1,1)
d)Mínimos en (0,-1), (-1,0) y en (0,0); máximos en (1,1),(1,0),(0,1)

He revisado las cuentas pero no hallo error, no sé dónde puedo estar equivocándome y tengo que entregarlo mañana. Puede alguien comprobar en qué me equivoco o si es un error del ejercicio porque no tiene más vuelta de hoja: Es puntos críticos primero y Lagrange después.
Gracias.

[Jaime Rudas]

Re: Extremos globales de función

Buenas, tengo dudas acerca de cómo realizar el siguiente ejercicio de máximos y mínimos de una función tanto en el interior como en la frontera de un cierto compacto. Aquí va:
Sea la función $f(x,y)=x^{2}+ y^{2} + 2(x+y)$ en $x^{2} + y^{2}\leqslant1, x\geqslant0 , y\geqslant0$. Con esto entiendo que se quiere estudiar en el disco unidad del primer cuadrante. Ahora bien, al estudiar la función en el interior, obtengo como punto crítico el (-1,-1), el cual no cuenta pues no se encuentra dentro de la región considerada. Ahora toca la frontera.
Si considero las desigualdades como igualdades y aplico Lagrange, obtengo dos puntos: $(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$
De estos sólo cuenta el segundo. Hasta aquí bien, pero, no os he contado, este ejercicio es de los de elegir la opción correcta. Las opciones son:

a)Máximo en (1,1) pero no tiene mínimo.
b)Mínimos en (0,-1) y en (-1,0); máximo en (1,1)
c)Mínimo en (0,0) y máximo en (1,1)
d)Mínimos en (0,-1), (-1,0) y en (0,0); máximos en (1,1),(1,0),(0,1)

He revisado las cuentas pero no hallo error, no sé dónde puedo estar equivocándome y tengo que entregarlo mañana. Puede alguien comprobar en qué me equivoco o si es un error del ejercicio porque no tiene más vuelta de hoja: Es puntos críticos primero y Lagrange después.

Todas las opciones incluyen como máximo el punto (1,1) que no cumple la condición $x^{2} + y^{2}\leqslant1$ así que, opino, las opciones están mal planteadas.