1r ciclo Volumen bola de dimensión 4 - Cavalieri

[The Higgs Particle]

Hola, me piden calcular la fórmula del volumen de una bola de dimensión 4,$B_{\mathbb{R}^4}$ , y radio $R$ por el principio de Cavalieri, pero no consigo llegar a la ecuación que debería tener.

Supongamos que la hiperesfera está centrada en el origen. Por el principio de Cavalieri, $a$ (que representa la altura -eje Z - desde el hiperplano de referencia) es cero. Y, al mismo tiempo, $b$ (que representa la altura total del sólido medida desde el origen nuevamente) es igual a R. Así, tendría, según la formulación del principio que aparece en el Mardsen y Tromba:

$V (B_{\mathbb{R}^4}) = \dst \int^b_a A(z) \dd z$

Yo sustituí:

$A(z) = 4 \pi r^2 = 4 \pi (R^2-z^2)$

Pero no llegué a nada concluyente. Creo que mi fallo está en cómo está formulado el principio en el libro. Es decir, creo que está aplicado para sólidos de $\mathbb{R}^3$, donde el volumen del espacio de dimensión menor ($\mathbb{R}^2$) es el área. Por ello, en este caso, para calcular el volumen de un cuerpo de $\mathbb{R}^4$ tendría que emplear el volumen de $\mathbb{R}^3$:

$V (B_{\mathbb{R}^4}) = \dst \int^b_a V(z) \dd z = \dst \int^?_? \frac{4}{3} \pi (R^2-z^2)^{3/2} \dd z$

Pero tengo dudas en si esto es así y en cuáles son los límites de integración

[Alriga]

Re: Volumen bola de dimensión 4 - Cavalieri

Mira a partir de la página 23 y siguientes de From Wallis’ formula to the Gaussian distribution and beyond a ver si te ayuda.

También aquí, nuestro compañero Angel Relativamente calcula en su blog el volumen de la hiperesfera: http://forum.lawebdefisica.com/entri...s-hiperesferas

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Volumen bola de dimensión 4 - Cavalieri

Gracias, o sea, que estaba bien cómo he modificado Cavalieri pero he fallado en los límites de integración (yo los había supuesto de 0 a R y van de -R a R)

Mira a partir de la página 23 y siguientes de From Wallis’ formula to the Gaussian distribution and beyond a ver si te ayuda.

También aquí, nuestro compañero Angel Relativamente calcula en su blog el volumen de la hiperesfera: http://forum.lawebdefisica.com/entri...s-hiperesferas

Saludos.

[angel relativamente]

Re: Volumen bola de dimensión 4 - Cavalieri

Hola, en la fórmula que utilizas de $A(z)=4\pi r^2$, ¿de dónde sacas el 4? Sería $A(z)=\pi r^2$ y con eso, al integrar entre 0 y R, te queda el volumen de la semiesfera.

Gracias, o sea, que estaba bien cómo he modificado Cavalieri pero he fallado en los límites de integración (yo los había supuesto de 0 a R y van de -R a R)

Pero en el caso de $\mathbb{R}^3$, si tomas directamente los límites -R y R obtienes el volumen de la esfera y no el de la semiesfera.


Para el ejercicio, piensa lo siguiente. Tienes 4 ejes que llamaré $x,y,z,t$. Si la bola la centras en el origen, claramente los ejes cortan a la bola en $-R$ y $R$ (para cada eje). Si nos movemos en el eje $t$, la sección de la bola con el hiperplano $t=\lambda$, con $\lambda \in (-R,R)$, será la esfera de centro $(0,0,0,\lambda)$ y radio $r^2=R^2 - \lambda ^2$. En efecto, la bola de $\mathbb{R}^4$ centrada en el origen es el conjunto definido por $x^2 + y^2 + z^2 + t^2 < R^2$, por lo que el corte con el hiperplano $t=\lambda$ nos da la región $x^2 + y^2 + z^2 < R^2 - \lambda^2$ que es una bola de dimensión 3 (restringidos al hiperplano) con el radio que hemos dicho. Si integras entre -R,R ($\dd \lambda$), obtienes el volumen de la bola. Si integras entre 0 y R, obtendrás el de la semibola, tal como ocurre en $\mathbb{R}^3$.

Saludos,

[The Higgs Particle]

Re: Volumen bola de dimensión 4 - Cavalieri

Hola, en la fórmula que utilizas de $A(z)=4\pi r^2$, ¿de dónde sacas el 4? Sería $A(z)=\pi r^2$ y con eso, al integrar entre 0 y R, te queda el volumen de la semiesfera.



Pero en el caso de $\mathbb{R}^3$, si tomas directamente los límites -R y R obtienes el volumen de la esfera y no el de la semiesfera

Sí, es que por alguna razón se me fue la cabeza y hice mal el dibujo de una esfera (que fue lo que luego extrapolé)

Para el ejercicio, piensa lo siguiente. Tienes 4 ejes que llamaré $x,y,z,t$. Si la bola la centras en el origen, claramente los ejes cortan a la bola en $-R$ y $R$ (para cada eje). Si nos movemos en el eje $t$, la sección de la bola con el hiperplano $t=\lambda$, con $\lambda \in (-R,R)$, será la esfera de centro $(0,0,0,\lambda)$ y radio $r^2=R^2 - \lambda ^2$. En efecto, la bola de $\mathbb{R}^4$ centrada en el origen es el conjunto definido por $x^2 + y^2 + z^2 + t^2 < R^2$, por lo que el corte con el hiperplano $t=\lambda$ nos da la región $x^2 + y^2 + z^2 < R^2 - \lambda^2$ que es una bola de dimensión 3 (restringidos al hiperplano) con el radio que hemos dicho. Si integras entre -R,R ($\dd \lambda$), obtienes el volumen de la bola. Si integras entre 0 y R, obtendrás el de la semibola, tal como ocurre en $\mathbb{R}^3$

Sí, conseguí hacerlo. No me salía porque estaba integrando de 0 a R y, claro, me quedaba $V = \dst \frac{\pi^2 R^4}{4}$ en vez de partido por 2 (que, incluyendo el -R como límite de integración, es: $V = \dst \frac{\pi^2R^4}{4} - \frac{-\pi^2 R^4}{4} = \frac{\pi^2 R^4}{2}$)