1r ciclo Transformada de Fourier

[[Beto]]

Hola, me piden calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:

$$f(x)=\frac{\cos\beta x}{a^2+x^2}$$

Tendría que hacerlo usando:

$$\mathcal{F}[f]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-ik\,x} \dd x$$

Se que sale aplicando algo de integración compleja pero no encuentro mis apuntes ... ¿Alguien me podría ayudar como un ejemplo para ver como se hace?

[Fastolfe]

Re: Transformada de Fourier

Si no me falla la memoria, para ese tipo de calculo debes utilizar:
$e^{i\cdot\theta}=cos(\theta)+i\cdot sen(\theta)$

Con ello simplificas tu $cos(\beta\cdot x)$

Tendria que hacer memoria.
Pero por el momento, algo es algo.

[[Beto]]

Re: Transformada de Fourier

A ver veamos a donde llego:

Tomando en cuenta que

$$\cos\beta x=\frac{e^{i\beta x}+e^{-i\beta x}}{2}$$

Reemplazando en la ecuación (1.2), se tendría que:

$$\mathcal{F}[f]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\frac{e^{i\beta x}+e^{-i\beta x}}{2(a^2+x^2)}\right]e^{-ik\,x} \dd x$$

Luego operando un poco:

$$\mathcal{F}[f]=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[ \frac{e^{ix(\beta-k)}}{a^2+x^2} + \frac{e^{-ix(\beta+k)}}{a^2+x^2}\right]\dd x$$

De donde integrando obtengo que:

$$\mathcal{F}[f]=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\left[\frac{\arctan\frac{x}{a}}{a}\left(e^{ix(\beta-k)}+e^{-ix(\beta+k)} \right)\right]_{-\infty}^{+\infty}$$

Llegado a este punto ¿está bien lo que he hecho? y ¿cómo evalúo la expresión entre esos límites?

Gracias de antemano.

[carroza]

Re: Transformada de Fourier

Este tipo de integrales se resuelven por el teorema de los residuos.

Tienes que ir al plano complejo, definir un contorno cerrado, determinar los polos de la función del integrando, obtener los residuos del integrando y aplicar el teorema de los resuduos (integral en un contorno cerrado es 2 pi i por la suma de los residuos de la función en los polos).

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_residuos

La función que indicas tiene dos polos, an x=ia y x=-ia.

[polonio]

Re: Transformada de Fourier

Efectivamente, se hace en el plano complejo y se usa el teorema de los residuos.

El camino a escoger para este tipo de integral es el eje real (donde tenemos la integral que te piden calcular) y rodeamos por el semiplano superior (donde tiende a cero la integral en esta parte del camino). Así que tienes que tener en cuenta que sólo encerramos los polos, bueno, el polo en este caso, del semiplano superior ($x=ia$) y sólo contribuye su residuo.

[[Beto]]

Re: Transformada de Fourier

Entonces si es así haré $x=z$, obteniendo:

$$\mathcal{F}[f]=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[ \frac{e^{iz(\beta-k)}}{(a+z)(a-iz)} + \frac{e^{-iz(\beta+k)}}{(a+z)(a-iz)}\right]\dd x$$

Y luego procedo así como en un ejercicio que esta acá:

http://www.lawebdefisica.com/problemas/residuos/

Gracias

[polonio]

Re: Transformada de Fourier

Eso es. El ejercicio 4 usa el camino de integración que te dije (de hecho, es una integral de ese tipo).