1r ciclo Volumen coordenadas esféricas

[unoonox]

Buenas, tengo grandes problemas al hallar los límites de integración para calcular volúmenes con coordenadas esféricas. Tengo el siguiente ejercicio:

Calcular, con esféricas, el volumen del siguiente cuerpo de R3: ${x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2}\leqslant 0$ y ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2-z$
Son un cono y un paraboloide respectivamente, que se cortan en un plano. El problema, como ya he dicho, es que no soy capaz de hallar los límites de integración. Realmente, el ángulo que se encuentra en el eje xy es evidentemente de 0 a 2π, pero la duda me llega para el radio ρ y el otro ángulo ψ.
Ayuda, por favor,
gracias

[carroza]

Re: Volumen coordenadas esféricas

Hola.

Una respuesta corta es que, con los datos que has dado, el volumen es infinito. El cono tiene dos partes: la de z>0 y la de z<0. La primera está limitada por el paraboloide, pero la segunda puede extenderse hasta z=-infinito.

Bueno, imaginando que solo te interesa la parte del cono con z>0, puedes ver que tu volumen es una especie de cucurucho de helado: un cono, limitada por el paraboloide. La interseccion de ambas es una circunferencia situada en z=1, $x^2+y^2 =1$. El volumen lo puedes calcular como la suma de un cono esférico, que se extiende hasta el radio $r^2=x^2+y^2+z^2=2$, y un casquete con una superficie inferior esférica y superior parabolica.

Los limites de integración para el cono esferico son, para r, entre 0 y $\sqrt{2}$, y para $\psi$ entre 0 y 45 grados.

Para el casquete los limites son, para r, entre $\sqrt{2}$ y 2, y para $\psi$ entre 0 y el angulo que define el corte con el paraboloide, que es la solucion de la ecuación
$r^2 \sin^2 \psi = 2 - r \cos \psi$.

Saludos

[unoonox]

Re: Volumen coordenadas esféricas

No sé de dónde sacas la esfera de radio raíz de 2... por lo que yo veo, cortan en la circunferencia de radio 1 en z=1. Por arriba queda la 'punta' del paraboloide, y por abajo, el pico del cono. No sé de dónde sale la esfera de la que hablas

[Alriga]

Re: Volumen coordenadas esféricas

Elimino la interpretación errónea que había hecho del post de carroza. Dejo el dibujo porque parece que puede ser interesante para el hilo.

Tienes un cono circular invertido de altura 1 y radio de la base 1 (diámetro 2), más un paraboloide circular cuyo círculo máximo base de radio 1 coincide la base del cono y la cúspide está a altura 2, (altura 1 desde la base del cono). Algo similar a este dibujo:



Saludos.

[carroza]

Re: Volumen coordenadas esféricas

Hola.

A ver, Alriga, gracias por traducirme, pero yo realmente me refería a un cono esférico. Cono esférico es un cono que, en lugar de estar limitado por una base plana, está limitado por una base curva que tiene forma de la superficie de una esfera. Esa esfera tiene un radio $\sqrt{2}$, y en tu dibujo aparecería (proyectado), como un sector circular que sustituye a tu linea 2.

La cosa es que a unoonox le piden hacer la integral en esféricas, no en cilíndricas, y la manera de hacer eso es la que digo: Cono esférico, mas una "lentilla" formada por una superficie convexa de paraboloide y una superficie concava de esfera.

Si los malvados profesores de unoonox le permitieran hacer la integral en cilindricas, entonces sería tu cono, más un paraboloide, pero no. Quieren esféricas.

Saludos

[unoonox]

Re: Volumen coordenadas esféricas

Eso ya tiene más sentido. Otra duda, el ángulo ψ del casquete del paraboloide, ¿no sería de 0 a π/2? ese ángulo lo entiendo bien para el cono, pues evidentemente, si trazamos una línea que divide el dibujo en dos partes iguales, claramente el ángulo que forma esa línea con el límite del cono es π/4. Pero si es así, ¿no sería π/2 para la parte de arriba?. Entiendo que en esa zona lo único que variará respecto a alguna otra variable es el radio, ¿no?

A ver, realmente sí que puedo hacerlo en cilíndricas, pero yo supuse, por la forma del cuerpo, que sería conveniente usar las esféricas.

[carroza]

Re: Volumen coordenadas esféricas

Eso ya tiene más sentido. Otra duda, el ángulo ψ del casquete del paraboloide, ¿no sería de 0 a π/2? ese ángulo lo entiendo bien para el cono, pues evidentemente, si trazamos una línea que divide el dibujo en dos partes iguales, claramente el ángulo que forma esa línea con el límite del cono es π/4. Pero si es así, ¿no sería π/2 para la parte de arriba?. Entiendo que en esa zona lo único que variará respecto a alguna otra variable es el radio, ¿no?

Unoonox, para hacerte la idea de de la integral en esfericas, imagínate el cucurucho de helado que ha pintado Alriga, y dedicate a cortarlo con superficies de esferas de radio creciente. Esferas, no circulos. La esfera más grande a la que llega el cono es la de radio $\sqrt{2}$ (que pasa por el punto x=1, y=0, z=1). Hasta ahi, el angulo $\psi$ maximo es 45 grados, o Pi/4. Desde ahi, tus supèrficies esféricas cortan el paraboloide, con ángulos cada vez más pequeños, hasta que la sperficie esférica con radio 2 es tangente al paraboloide, y solo permite $\psi = 0$.

Saludos

[Alriga]

Re: Volumen coordenadas esféricas

... A ver, Alriga, gracias por traducirme, pero yo realmente me refería a un cono esférico ...

Ups, mil disculpas. Ya he corregido el post. He dejado el dibujo en vez de borrar todo el post como merecía porque os referís a él posteriormente.

... La cosa es que a unoonox le piden hacer la integral en esféricas, no en cilíndricas, ...

Error por mi parte, no me había fijado en ese fundamental detalle.

Disculpas de nuevo, saludos.

[unoonox]

Re: Volumen coordenadas esféricas

Vaale, muchas gracias a ambos, creo que por cilíndricas lo he sacado, pues me da una expresión bastante convincente (11π/6). Me obcequé innecesariamente con las esféricas, mientras que las cilíndricas me daban el resultado de forma casi inmediata. Entonces extraigo una lección de aquí: las esféricas las restrinjo a únicamente cuando haya esferas involucradas, porque si no, se me forma el lío padre por lo que veo.

[carroza]

Re: Volumen coordenadas esféricas

Vaale, muchas gracias a ambos, creo que por cilíndricas lo he sacado, pues me da una expresión bastante convincente (11π/6). Me obcequé innecesariamente con las esféricas, mientras que las cilíndricas me daban el resultado de forma casi inmediata. Entonces extraigo una lección de aquí: las esféricas las restrinjo a únicamente cuando haya esferas involucradas, porque si no, se me forma el lío padre por lo que veo.

Hola. Quizás encuentres $11 \pi/6$ convincente, pero no es correcta. Sale $5 \pi/6$.

$\pi/3$ del cono, y $\pi/2$ del paraboloide, haciendolo en cilíndricas.

También lo puedes hacer en esféricas, con lo que te queda el mismo resultado $5 \pi/6$.

De ellas, $2\pi (\sqrt{8} -2)/3$ son del cono esférico, y $2\pi (13/4-\sqrt{8})/3$ de la lentilla.

Saludos

[unoonox]

Re: Volumen coordenadas esféricas

Cierto, cierto, se me fue la olla y puse para ambos volúmenes 0 y 1 como límites a la t jeje