1r ciclo Volumen

[unoonox]

Buenas, no sé cómo poner los límites de integración para poder calcular el volumen de la elipsoide x^2/3+y^2+z^2/9=1 tal que y está entre x y 0. Es decir, la cuña que queda. No consigo hacerlo por ningún método: ni cilíndricas ni esféricas ni en xyz.
Ayuda por favor,
gracias

[carroza]

Re: Volumen

Hola

X va entre $-\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$.

Y va entre $-\sqrt{1- X^2/3 }$ y $\sqrt{1- X^2/3 }$.

z va entre $-3\sqrt{(1- X^2/3 - Y^2 }$ y $3 \sqrt{1- X^2/3- Y^2 }$.

Saludos

[unoonox]

Re: Volumen

El problema es que no soy capaz de hacer la integral que sale. ¿No sale más sencillo con cilíndricas o esféricas?

[Richard R Richard]

Re: Volumen

No lo veo dificil, o estoy desacostumbrado y no veo algún error obvio.
difiero con carroza

$V=\dst\int_{-1}^1 \int_{0}^x\int_{-(1-x^{\frac 23}-y^2)^{\frac 92}}^{(1-x^{\frac 23}-y^2)^{\frac 92}}\dd z\dd y\dd x$

ya veo es por como interpretamos la funcion para mi

es $x^{\frac 23}+y^2+z^{\frac 29}=1$

y para el $\dfrac{x^2}3+ y^2+\dfrac{z^2}9=1$ ????

discrepo con el en que el limite de integración de y va entre 0 y x como pide el enunciado

$V=\dst\int_{-\sqrt 3}^{\sqrt 3} \int_{0}^x\int_{-(\frac 13-\frac{x^2}3-y^2)^{\frac 12}}^{(\frac 13-\frac{x^2}3-y^2)^{\frac 12}}\dd z\dd y\dd x$

[carroza]

Re: Volumen

Hola.

Te voy a hacer un paso:

$V = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} dx \int_{-a(x)}^{a(x)} dy \int_{-c(x,y)}^{c(x,y)} dz = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} dx \int_{-a(x)}^{a(x)} dy \quad 2 c(x,y)$

Saludos

[unoonox]

Re: Volumen

pero la integral que sale es mortal no?

[Richard R Richard]

Re: Volumen

$V=\dst\int_{-\sqrt 3}^{\sqrt 3} \int_{0}^x\int_{-(9-3x^2-9y^2)^{\frac 12}}^{(9-3x^2-9y^2)^{\frac 12}}\dd z\dd y\dd x$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

ayudate con
$<br /> \dst \int \sqrt{a^2-x^2}\:\dd x=\frac x2 \sqrt{a^2-x^2}+\dfrac {a^2}{2} \arcsin \dfrac {x}{a}+C$

http://forum.lawebdefisica.com/entries/573-F%C3%B3rmulas-de-f%C3%ADsica-en-lenguaje-Latex-13-Matem%C3%A1tica-Derivadas-Integrales-y-Transformadas-de-Laplace

[unoonox]

Re: Volumen

Perdonad, la función es

[Take It Easy]

Re: Volumen

Puedes probar con el cambio de variable:

$x=\sqrt{3}u$
$y=v$
$z=3t$

Entonces

$dxdydz=\left | \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,t)} \right |dudvdt=3\sqrt{3}dudvdt$

Y la integral se hará en la esfera:

$u^2+v^2+t^2=1$

[unoonox]

Re: Volumen

Take it Easy, justo eso he hecho, y me ha salido una de las opciones que me daban como posibles soluciones, así que perfecto. Por dar el dato, me sale $\frac{2 \sqrt(3)}{3}\pi$

[carroza]

Re: Volumen

Take it Easy, justo eso he hecho, y me ha salido una de las opciones que me daban como posibles soluciones, así que perfecto. Por dar el dato, me sale $\frac{2 \sqrt(3)}{3}\pi$

Pues yo diria que el volumen debe salirte $3 \sqrt{3}$ veces el volumen de la esfera de radio unidad, que es $4 \pi/3$, y por tanto sale $V = 4 \pi \sqrt{3}$

Saludos

- - - Actualizado - - -

$V=\dst\int_{-\sqrt 3}^{\sqrt 3} \int_{0}^x\int_{-(9-3x^2-9y^2)^{\frac 12}}^{(9-3x^2-9y^2)^{\frac 12}}\dd z\dd y\dd x$

R3, ¿desde cuando en un elipsoide la coordenada y está limitada entre 0 y x? Eso es lo que se infiere de los límites de tu integral.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Volumen

R3, ¿desde cuando en un elipsoide la coordenada y está limitada entre 0 y x? Eso es lo que se infiere de los límites de tu integral.

Saludos

Hola carroza lo leo en el encunciado, quiza lo mal interprete, pero no es una esfera entera sino un cono....

tal que y está entre x y 0. Es decir, la cuña que queda.

Saludos

[carroza]

Re: Volumen

Perdón, R3. Tienes toda la razón.

Lo que pasa es que en ese caso no puedes relacionarlo trivialmente con el volumen de la esfera.

Saludos