1r ciclo Cilíndricas

[unoonox]

Buenas, se me pide calcular en cilíndricas el volumen delimitado por
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant 2$ y $x^{2}+y^{2}\leqslant z$
Mi problema viene, evidentemente, al colocar los límites de integración.
Ya aparte, ¿hay alguna forma general de obtener los límites de integración? Es que cada caso se me hace un mundo y no puede ser tan difícil.

[Forseti]

Re: Cilíndricas

Lo más importante a la hora de poner los límites de integración es saber sobre que figuras tienes que calcular el volumen. En este caso te piden calcular el volumen delimitado por dos superficies.

Como te piden el volumen, es indiferente si son huecas o macizas. La primera, $x^2 + y^2 + z^2 =2$ es una circunferencia de radio $\sqrt{2}$.




Por otra parte, $x^2+y^2=z$ es un paraboloide infinito.



Por lo tanto, como el paraboloide en el eje z va desde el 0 hasta el infinito, sabemos que nuestra figura resultante estará acotada superiormente por la esfera. Por lo tanto, los límites en el eje z serán:

$0 \leq z \leq \sqrt{2-x^2-y^2}$

Ahora debemos poner los límites para los ejes restantes. Podemos elegir integrar con respecto a cualquiera de los dos primero y las integrales serán igualmente fáciles, pues es totalmente simétrico con respecto a ambos ejes. Empezamos por el y por comodidad. En este caso, y estará acotado inferiormente por el paraboloide y superiormente por la esfera:

$0 \leq y \leq \sqrt{2-x^2}$

Finalmente ponemos los límites en el eje x. En este caso, estará delimitado por la esfera unicamente.

$-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Estos serían los límites de integración en cartesianas. En cilíndricas es bastante más sencillo. Tenemos que hacer el cambio:

$x=r cos(\theta)$
$y=r sin(\theta)$
$z=z$

Por lo tanto, tenemos para la esfera: $z=\sqrt{2-r^2}$ y para el paraboloide $z=r^2$.

Entonces tenemos que:

$0 \leq z \leq \sqrt{2-r^2}$

El radio claramente está limitado inferiormente por el paraboloide y superiormente por la esfera. Para conocer el límite inferior calculamos la intersección de las dos figuras.

$z= z ; r^2=\sqrt{2-r^2}$

$r=\pm 1$ Tomamos la solución positiva porque no tiene sentido tener un radio negativo.

$1 \leq r \leq \sqrt{2}$

Para obtener nuestra figura es necesario hacer una revolución entera, por lo que el ángulo está limitado por:

$0 \leq \theta \leq 2 \pi$.

Para hacer la integral en coordenadas cilíndricas es necesario que te acuerdes de multiplicar todo por el jacobiano.