Otras carreras valor máximo de la función

[andreafz]

hola ha todos, según la siguiente función:
y = sen(2 (1 + cos(x))) / sen((1 + cos(x)) / 2)
debo demostrar que el valor máximo que toma esta función es 4, pero se me ha dificultado un poco hacerlo, por lo que les pido de su ayuda con esto. Gracias.

[Alriga]

Re: valor máximo de la función

hola ha todos, según la siguiente función:
y = sen(2 (1 + cos(x))) / sen((1 + cos(x)) / 2)
debo demostrar que el valor máximo que toma esta función es 4

$y(x)=\dfrac{\sin \Big[2(1+\cos x)\Big]}{\sin \dfrac{1+\cos x}2}$

No podrás demostrarlo porque es falso. En todo caso, 4 es el supremo de la función, pero no el máximo, puesto que no existe ningún x tal que y(x)=4

Si en la función haces $x=\pi$ la función no está definida, queda $y(\pi)=\dfrac 0 0$, pero sí tiene límite y el límite es $\dst \lim_{x \rightarrow \pi} y(x)=4$ por lo tanto 4 puede ser un supremo pero no un máximo.

Una manera de verlo puede ser esta:

La función y(x) es un cociente, luego los candidatos a valores máximos son los valores en los que el denominador tienda a ser mínimo. ¿Cuál es el menor valor posible del denominador?

Pues es CERO: $\sin \dfrac 0 2=0$ y ello se produce cuando

$1+\cos x=0$ es decir, cuando $x=\pi, \ 3\pi, \ 5\pi,$ …

Pero en ese valor la función no está definida

$y(\pi)=\dfrac 0 0$

Por lo tanto, aunque es un punto candidato a máximo, no puede ser un máximo. Si en ese punto hay límite, el valor del límite como mucho puede ser un supremo, haciendo un cambio de variable y aplicando L'Hopital:

$\dst \lim_{x \rightarrow \pi} \dfrac{\sin \Big[2(1+\cos x)\Big]}{\sin \dfrac{1+\cos x}2}=\lim_{t \rightarrow 0} \ \dfrac{\sin 2 \ t}{\sin \dfrac{t}2}=4$

Saludos.

[andreafz]

Re: valor máximo de la función

ya entiendo lo que dices, gracias por la aclaración.