2o ciclo Integral complicada

[jorgext]

Hola amigos:

Me gustaría saber si me pueden ayudar con el desarrollo de esta integral:

$<br /> \int \sqrt{\frac{x}{A x^2 + B x + C}}dx<br />$

[[Beto]]

Re: Integral complicada

Hola tocayo ... veamos, viendo esa expresión se puede notar algo curioso, fíjate en lo siguiente:

Sea una variable $u$ tal que:

$$u=\sqrt{\frac{x}{Ax^2+Bx+C}}$$

Luego derivando respecto a $x$ se obtiene:

$$u'=\frac{\sqrt{\frac{x}{Ax^2+Bx+C}}}{2x}=\frac{u}{2x}$$

Reemplazando (2.1) en (2.2), y luego acomodando términos se obtiene:

$$\begin{array}{rrcl}<br /> &u'&=&\dst\frac{u}{2x}\\\\<br /> \Longrightarrow&\dst\frac{2}{3}xu'&=&\dst\frac{u}{3}\\\\<br /> \Longrightarrow&\dst\frac{2}{3}xu'&=&\dst u-\frac{2}{3}u\\\\<br /> \Longrightarrow&\dst \frac{2}{3}u+\frac{2}{3}xu'&=&u\\\\<br /> \end{array}$$

Pero se puede ver que el término de la izquierda de la última igualdad es $\dst\left(\frac{2}{3}xu\right)'$, por tanto:

$$\left(\frac{2}{3}xu\right)'=u$$

En esta última expresión, en virtud del teorema fundamental del cálculo, se puede ver fácilmente que:

$$\int u\dd x=\frac{2}{3}xu+c$$

Que es lo que se quería encontrar ya que si reemplazamos el cambio hecho en (2.1) se obtiene:

$$\int \sqrt{\frac{x}{Ax^2+Bx+C}}\dd x=\frac{2}{3}x\sqrt{\frac{x}{Ax^2+Bx+C}}+c$$

Donde en las dos últimas expresiones $c$, es una constante de integración.

Un saludo.

[carroza]

Re: Integral complicada

Neofebo, no veo de donde sale tu expresión 2.2

[[Beto]]

Re: Integral complicada

Neofebo, no veo de donde sale tu expresión 2.2

Esa expresión sale derivando respecto a $x$, a la expresión (2.1) y luego acomodando términos.


Y en la expresión (2.3), ya corregí, me había faltado dividir entre 3 en la segunda línea.

PD: voy a revisar donde hice mis cálculos par copiar el procedimiento.

[jorgext]

Re: Integral complicada

N30F3B0, tocayo... creo que la derivación de la variable definida como $u$ no es correcta, si la pudieses revisar por favor.

[[Beto]]

Re: Integral complicada

N30F3B0, tocayo... creo que la derivación de la variable definida como $u$ no es correcta, si la pudieses revisar por favor.

Si tienen razón esta mal derivado, para ahorrar trabajo use un programa que deriva expresiones, pero al parecer he anotado mal algún término pues ahora lo que me da es:

Y con eso pierde su forma bonita el ejercicio

Usando lo mismo la integral de la expresión que haz colocado debe de dar:

[alefriz]

Re: Integral complicada

Hola amigos:

Me gustaría saber si me pueden ayudar con el desarrollo de esta integral:

$<br /> \int \sqrt{\frac{x}{A x^2 + B x + C}}dx<br />$

Buenas,

Estamos en el caso de una integral irracional. Sería importante conocer si los valores {A,B,C} son mayores o menores que 0, ya que hay varios casos de estudio:

CASO 1:
Integrales de la forma $I = \int{\frac{dx}{\sqrt{Ax^2+Bx+C}}} \, con \,A < 0$:

Hacemos la reducción: $Ax^2+Bx+C = C - \frac{B^2}{4A} - (\sqrt{|A|}x- \frac{B}{2|A|})^2$

Si ahora, $C - \frac{B^2}{4A} > 0$ estamos en el caso de la integral del tipo $I= \int{\frac{dx}{\sqrt{p - (qx+r)^2}}} \, con \, p > 0$, que se resuelven de la siguiente forma:
Dividiendo numerador y denominador por $\sqrt{p}$, quedando:
$I= \int{\frac{1/\sqrt{p}}{\sqrt{1 - (\frac{qx+r}{\sqrt{p}})^2}}dx}$. Ahora se multiplica numerador y denominador por $q$, quedando: $I = \frac{1}{q} \int{\frac{q/\sqrt{p}}{\sqrt{1 - (\frac{qx+r}{\sqrt{p}})^2}}dx}$, que es inmediata $= \frac{1}{q}\arcsin({\frac{qx+r}{\sqrt{p}}})+K$

CASO 2: METODO GENERAL PARA INTEGRALES DE LA FORMA $I = \int{R[\sqrt{Ax^2+Bx+C}, x]dx}$

CASO PRIMERO (A > 0):
Hacer el cambio $\sqrt{Ax^2+Bx+C} = \sqrt{A} x + t$

CASO SEGUNDO (C > 0):
Hacer el cambio $\sqrt{Ax^2+Bx+C} = \sqrt{C} + xt$

CASO TERCERO (A < 0 y C < 0):
Hacer el cambio $\sqrt{Ax^2+Bx+C} = (x-\alpha)t$ siendo $\alpha$ una raiz real del radicando.