Otras carreras Graficar una funcion

[SergioQuantum]

Hola, tengo examen mañana de geometria analitica y estaba viendo los ejercicios que seguramente vendran en el examen, pero son muy faciles y sin emoción, asi que decidí hacer unos imaginados por mi, y entre ellos hize uno que no estoy demasiado seguro como se hace, dice así

$f\left( x\right)\equiv\frac{-1+x}{ log(x)} -3$

Estoy casi seguro que x nunca pordra ser ni 0 o menos, ni uno, pero no se bien como seria la grafica, estaria muy agradecido si alguien se tomaria el tiempo de ayudarme, muchas gracias

[Alriga]

Re: Graficar una funcion

$f : x \rightarrow y=\dfrac{x-1}{\ln x}-3$

$x, \ y \in \mathbb R$

Como bien dices, para $x \leq 0$ la función no está definida en $\mathbb R$, por no estarlo el logaritmo.

Por inspección de la función se ve que tiene 2 puntos interesantes:

a) El límite cuando $x \rightarrow 0^+$

$\dst \lim_{x \rightarrow 0^+}\dfrac{x-1}{\ln x}-3=\dfrac{-1}{\infty}-3=0-3=-3$

b) El punto $x=1$ en donde la función tampoco está definida al quedar un cociente 0/0 en el primer sumando.

$\dst \lim_{x \rightarrow 1}\dfrac{x-1}{\ln x}=\dfrac{0}{0}$

Aplicando la Regla de L'Hopital

$\dst \lim_{x \rightarrow 1}\dfrac{x-1}{\ln x}=\lim_{x \rightarrow 1}\dfrac{1}{\dfrac 1 x}=\lim_{x \rightarrow 1} x=1$

Por lo tanto

$\dst \lim_{x \rightarrow 1}\dfrac{x-1}{\ln x}-3=1-3=-2$

Es decir el punto x=1 es una discontinuidad evitable, (para evitarla basta con definir $f(1)=-2$ )

c) Para ver si hay asíntota horizontal hay que hacer el límite cuando $x \rightarrow +\infty$

$\dst \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x-1}{\ln x}=\dfrac{+\infty}{+\infty}$

Aplicando la Regla de L'Hopital

$\dst \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x-1}{\ln x}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\dfrac 1 x}=\lim_{x \rightarrow +\infty} x=+\infty$

Por lo tanto

$\dst \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x-1}{\ln x}-3=+\infty-3=+\infty$

No hay asíntota horizontal

Recuerda que si te interesa saber como es el código LaTeX de cualquiera de estas fórmulas, puedes verlo haciendo doble click sobre la fórmula.

Saludos.

[SergioQuantum]

Re: Graficar una funcion

No conocia la regla L'Hopital, debo investigar mas sobre ella, muchas gracias!

[Alriga]

Re: Graficar una funcion

No conocia la regla L'Hopital, debo investigar mas sobre ella, muchas gracias!

Es una manera rápida y sencilla de resolver algunos límites indeterminados, mira aquí: Regla de L'Hôpital

Saludos.