1r ciclo Primeros temas cálculo - Dudas

[Alvarodt]

Hola a todos! Estoy realizando una relación de ejercicios que ha enviado el profesor para entregar, y yo creo que serán fáciles pero son demostraciones y cosas tan básicas (creo) que sinceramente me pierdo muchísimo con ellas, os explico:

Me haría falta un pequeño empujon es, dado un x perteneciente a R, probar que hay un único t perteneciente a R tal que:

$\displaystyle\frac{e^t - e^{-t}}{2}=x$

Aquí mis calculos, pero no sé como seguir
Adjunto 1

Y el otro, dado un x mayor o igual que 1, probar que hay un único t $\geq{0}$ tal que:

$\displaystyle\frac{e^t + e^{-t}}{2}=x$

Aquí mis calculos, que tampoco se seguirlo, porque será parecido al otro:
Adjunto 2


PD: He llamado a e^t, u, lo he puesto antes de los calculos.

Graciasssss

[Alvarodt]

Re: Primeros temas cálculo - Dudas

en el apartado a) al final me quedaría:

$u1 = x + \sqrt[ ]{x^2+1}$
$u2 = x - \sqrt[ ]{x^2+1}$

Descarto la segunda porque siempre será negativo para cualquier valor de X, y e^t siempre tiene que ser positivo, entonces nos queda la solución

$t= ln (x + \sqrt[2]{x^2+1})$

Es correcta esa solución?

En el apartado b), me da muy parecido:

$u1 = x + \sqrt[ ]{x^2-1}$
$u2 = x - \sqrt[ ]{x^2-1}$


Para x mayor o igual que 1, las dos soluciones son válidas, así que no puedo demostrar que haya 1 único t.

[Alvarodt]

Re: Primeros temas cálculo - Dudas

Confirmo, la primera es correcta, y en el b) nos quedamos con u1 ya que en el cosenohiperbolico tiene que valer >= 1.