1r ciclo Promedio mínimo del cuadrado de un gradiente

[[Beto]]

Hola de nuevo, el siguiente es un ejercicio que no entiendo:

Demostrar que la función $\phi(x,y,z)$, la cual posee un valor promedio mínimo del cuadrado de su gradiente sobre una región del espacio, satisface la ecuación de Laplace.

La parte que no entiendo es eso del promedio mínimo del cuadrado del gradiente, ¿a qué se refiere con eso?

[carroza]

Re: Promedio mínimo del cuadrado de un gradiente

Entiendo que la integral del cuadrado del gradiente, dividida por el volumen de la zona del espacio considerada, es minima.

[[Beto]]

Re: Promedio mínimo del cuadrado de un gradiente

Entiendo que la integral del cuadrado del gradiente, dividida por el volumen de la zona del espacio considerada, es minima.

Pero el gradiente es un vector, ¿entonces se refiere a la norma de este? ... de ser así me estarían pidiendo demostrar que si la siguiente expresión

$$f=\frac{1}{V}\int_V|\nabla\phi|^2\dd V$$

es mínima, entonces cumple con la ecuación de Laplace. De ser eso lo que piden ¿Alguna pista para demostrarlo?

[carroza]

Re: Promedio mínimo del cuadrado de un gradiente

El gradiente es un vector, pero el cuadrado del gradiente (gradiente escalar por gradiente) es un escalar.

No lo he hecho, pero imagino que tendrás que darle la vuelta a la expresión para expresarla como la integral de volumen de la divergencia de un vector, y usar el teorema de Gauss (integral de volumen de la divergencia de un vector igual a flujo en la superficie del vector).

[[Beto]]

Re: Promedio mínimo del cuadrado de un gradiente

Mmm, entonces con cuadrado del gradiente se refieren a:

$$|\nabla\phi|^2=\nabla\phi\cdot\nabla\phi$$

En ese caso daría mas o menos algo así:

$$|\nabla\phi|^2=\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \phi}{\partial z}\right)^2$$

Antes de seguir díganme si estoy en lo correcto

[carroza]

Re: Promedio mínimo del cuadrado de un gradiente

Correcto