Secundaria realizar la derivada de

[Larry2]

buenas me podrian resolver una duda con esta derivada

y=(x-1)^3/(x^2-1)

de ante mano muchas gracias

[carroza]

Re: realizar la derivada de

Hola.

Bienvenido al foro.

¿Cual es la duda que tienes exactamente?

Si lo que quieres simplemente es saber qué da esa derivada, hay sitios en internet que te lo hacen

http://www.wolframalpha.com/input/?i...5E3%2F(x%5E2-1)

Saludos

[MrM]

Re: realizar la derivada de

Si lo que quieres es saber cómo se haría esa derivada, debes aplicar que:

$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}$

Y, por otro lado, la derivada de un término de la forma $(x+a)^n$ es $n(x+a)^{n-1}$ (esto incluye el caso particular a=0). Además, obviamente la derivada de una constante es 0, y la suma de derivadas es derivada de sumas.
Eso implica:

$f(x)=(x-1)^3 \rightarrow f'(x)=3(x-1)^2$

$g(x)=x^2-1 \rightarrow g'(x)=2x$

$h(x)=y \rightarrow h'(x)=y'=\frac{3(x-1)^2 \cdot (x^2-1) -2x \cdot (x-1)^3}{(x^2-1)^2}$

Esta solución ya es válida, pero si quieres simplificar factores comunes (o si quieres comprobar que no te he mentido y da lo mismo que al usuario de arriba), probamos desarrollando el numerador:

$3(x-1)^2 \cdot (x^2-1) -2x \cdot (x-1)^3=(3x^2+3-6x)(x^2-1)-(2x^3+2x-4x^2)(x-1)=$

$=3x^4+3x^2-6x^3-3x^2-3+6x-2x^4-2x^2+4x^3+2x^3+2x-4x^2=$

$x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)$

Este último paso puedes hacerlo calculando las raíces a mano o con un ordenador.

Por último, cabe notar que el denominador se puede expresar como:

$(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2$

Este paso es sencillo pues $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

Finalmente, poniendo en común todos los resultados:

$y'=\frac{3(x-1)^2 \cdot (x^2-1) -2x \cdot (x-1)^3}{(x^2-1)^2}=\frac{(x-1)^3(x+3)}{(x-1)^2(x+1)^2}=$

$=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}$

Que coincide con el resultado que ha puesto carroza.

Un saludo.