1r ciclo Simplificación de integrales

[Alriga]

En un desarrollo matemático en el que $x_0 < x_1$ se llega a la siguiente ecuación que relaciona dos integrales:

$$\dst \int_{x_0}^{x_0+\Delta x_0} \dfrac{\dd x}{f(x)} - \int_{x_1}^{x_1+\Delta x_1} \dfrac{\dd x}{f(x)} = 0$$

Y dice: Ahora podemos sacar f(t) de la integral y tratarla como una constante. Entonces tenemos:

$$\bold{\dfrac{\Delta x_0}{f(x_0)}=\dfrac{\Delta x_1}{f(x_1)}}$$

¿Cómo pasa de (1) a (2)?

Perdonadme si fuese una tontería, pero no soy capaz de verlo

Gracias y saludos.

[arivasm]

Re: Simplificación de integrales

A mí no me parece correcto eso de que "f(t) sale de la integral". Me suena más a que se trata de una aproximación para el caso en que $|\Delta x_i|\ll |x_i|$, pues entonces $\int_{x_i}^{x_i+\Delta x_i} g(x)\dd x\approx g(x_i)\Delta x_i$.

Para ver que ciertamente no es válido en general, pensemos por ejemplo en $\int_0^{0+1} \dfrac{\dd x}{x^{-1}}= \dfrac{1}{2}$, mientras que según la expresión que escribes debería ser 0.

- - - Actualizado - - -

Veo que mi respuesta no se ciñe exactamente a tu pregunta, pues partes de una ecuación que iguala a ambas integrales. Pero pondré un contrajemplo más concreto:
$\dst \int_0^{0+1}\frac{\dd x}{x^{-1}}-\int_2^{2+(\sqrt{5}-2)}\frac{\dd x}{x^{-1}}=0$
pero no es cierto que
$\dst 0\cdot 1=2\cdot (\sqrt{5}-2)$

[Alriga]

Re: Simplificación de integrales

... se trata de una aproximación para el caso en que $|\Delta x_i|\ll$ , pues entonces $\dst \int_{x_i}^{x_i+\Delta x_i} g(x)\dd x\approx g(x_i)\Delta x_i$

Seguro que es eso

... A mí no me parece correcto eso de que "f(t) sale de la integral" ...

Claro, sin embargo es lo que textualmente dice: "Ahora podemos sacar f(t) de la integral y tratarla como una constante. Entonces tenemos:" y eso es lo que me ha despistado, pensaba que había que hacer una manipulación algebraica, no una aproximación.

¡Muchas gracias!, saludos.

[sater]

Re: Simplificación de integrales

Por completar la respuesta de arivasm, lo que es necesario es que la función sea aproximadamente constante en el intervalo en cuestión, cosas que en los textos a veces pueden omitir (el típico "la función cumple lo necesario para que esto sea cierto", que en la carrera se escucha mucho). Por ejemplo, $1/x$ no cumple tal condición en el intervalo $(0.01,0.5)$ (varía desde 100 hasta 2), mientras que sí es aproximadamente constante en el intervalo (100,101) (y cuanto más pequeño cojas el intervalo, mejor).

Un saludo.