Otras carreras Serie de Taylor

[cristianoceli]

Hola tengo dudas con este ejercicio no se ni como empezar

Determine la serie de Taylor de $e^x$ centrada en 0 y demuestre que $e^x$ coincide con su serie de Taylor para todo $x\in{\mathbb{R}}$

[Lorentz]

Re: Serie de Taylor

Buenos días,

¿Qué has intentado?

La serie de Taylor de una función (en general compleja) $C^{\infty}$ en el entorno de un punto (en general complejo) es:

$\dst \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\left(x-a\right)^n$

Si está centrada en entonces en la expresión de arriba $a=0$.

La derivada de la exponencial es ella misma de modo que $f^{\left(n\right)}\left(0\right)=1$. Así que su serie de Taylor es:

$\dst \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Un saludo

[Alriga]

Re: Serie de Taylor

El apartado (a) está claro tal como te lo ha explicado Lorentz, es simplemente aplicar la definición de Serie de Taylor en a=0

... Determine la serie de Taylor de $e^x$ centrada en 0 y demuestre que $e^x$ coincide con su serie de Taylor para todo $x\in{\mathbb{R}}$

Este segundo apartado, aunque no está muy claro, no estoy seguro, entiendo que lo que te pide es que demuestres que la serie centrada en cero que has hallado, no solo converge en puntos cercanos al cero, sino que converge $\forall x \in \mathbb R$

Puedes usar el criterio del cociente: si el límite para $n\rightarrow \infty$ del valor absoluto del cociente entre 2 sumandos consecutivos de la serie es menor que 1, la serie converge absolutamente.

$\dst \lim_{n\rightarrow \infty} \left |\dfrac{\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{x^n}{n!}}\right |=$

$\dst =\lim_{n\rightarrow \infty}|x|\dfrac{n!}{(n+1)!}=$

$\dst =\lim_{n\rightarrow \infty} \ \dfrac{|x|}{n+1}=0 \ \forall x$

Por lo tanto, la expresión

$e^x=\dst \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

obtenida para el entorno de cero, se puede usar para cualquier $x\in \mathbb R$

Saludos.

[Lorentz]

Re: Serie de Taylor

No entendía a qué se refería el segundo apartado

Me daba la impresión de que estaba mal redactado

[cristianoceli]

Re: Serie de Taylor

Muchas gracias a ambos. Ahora si me queda mas claro


Saludos