1r ciclo Derivada direccional

[Visitante]

He estado tratando de entender el concepto de derivada direccional pero no la logro entender del todo. Por lo que tengo entendido es cuánto cambia la función si se desplaza en el sentido del vector, pero no veo geométricamente de dónde sale la definición:

${\nabla}_{\vec{v} }f(\vec{x})=\lim_{h \to 0} \dst \frac{f(\vec{x}+h \vec{v})-f(\vec{x})}{ h}$

Más o menos puedo hacerme la idea pero no estoy muy satisfecho con las explicaciones que he visto. Ahora, lo que no entiendo es de dónde sale esto:

${\nabla}_{\vec{v} }f(x,y)={v}_{ x} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+{v}_{y }\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$

he visto que a veces lo ponen con el vector unitario:
${\nabla}_{\vec{v} }f(x,y)=\nabla f(x,y) \frac{\vec{v}}{\left\vert{} \vec{v} \right\vert{}}$
¿Pero si lo multiplico solo por el vector v no valdría?

[angel relativamente]

Re: Derivada direccional

Hola Malevolex.
La idea de derivada direccional es intentar generalizar el concepto de derivada en una variable (donde solo tenemos dos direcciones: izquierda y derecha). La definición es en realidad análoga a la derivada de una variable, donde la $h$ medía un pequeño incremento del valor de la variable que hacíamos tender a cero. Ahora hace en esencia lo mismo, solo que la variable es un vector con varias componentes, y esta variación es susceptible a qué dirección tomemos. De ahí que se sustituya el $f(x+h)$ por $f(\vec x+h \vec v$). Una manera de verlo geométricamente que a mi me parece clara es la siguiente: Escogido un punto de la función, y una dirección (es decir, un vector), traza un eje en la dirección del vector que corte a la función en el punto escogido. Ahora, desde ese eje, puedes estudiar cómo varía la función al moverte por él (con un parámetro), con las mismas herramientas de la derivada en una variable. Pues esa es la derivada de una función multivariable, fijado un punto y un vector director.

Luego, podemos definir derivada direccional de una forma más práctica para el cálculo, utilizando el gradiente de una función. Claro que esto ha de venir después, pues el gradiente se define a partir de las derivadas parciales, y estas no son otra cosa que derivadas direccionales en la dirección de los ejes de coordenadas. Como supongo sabrás, el gradiente de una función (en un punto) es un vector cuya dirección indica el mayor ritmo de cambio de la función (desde dicho punto). Cuando queremos hacer la derivada direccional, nos interesa ver cuál es el ritmo de cambio de la función en dicha dirección, y es por eso que lo que hacemos es proyectar en ella el vector gradiente. Recuerda que la proyección de un vector $\vec u$ sobre otro vector $\vec v$ es un vector en la dirección $\vec v$ de módulo $\dfrac{\vec u \cdot \vec v}{\left\vert{} \vec v \right\vert{}}$. En nuestro caso, el módulo de la proyección del vector gradiente sobre la dirección escogida $\vec v$, sería $\dfrac{\nabla f \cdot \vec v}{\left\vert{} \vec v \right\vert{}}$. No obstante, para que sea equivalente a la definición de derivada direccional dada al principio (donde las variaciones eran sensibles al vector $\vec v$, y por tanto a su módulo), se tiene que la derivada direccional es $\nabla f \cdot \vec v$.

Como dices, otros autores prefieren normalizarlo. Yo, aun lejos de ser autor, también lo prefiero. Aunque la definición sea un poco más complicada, hace que el valor numérico de la derivada direccional dependa solo de la dirección y no del (módulo del) vector escogido. Así, la definición original debería de ser

$$\dst {\nabla}_{\vec{v} }f(\vec{x})=\lim_{h \to 0} \dst \frac{f(\vec{x}+h \vec{v})-f(\vec{x})}{ h\left\vert{} \vec v\right\vert{}}$$

que equivaldría a $\dfrac{\nabla f \cdot \vec v}{\left\vert{} \vec v \right\vert{}}$, que es el módulo de la proyección del vector gradiente en la dirección dada, cosa que tiene más sentido.

Pero tanto monta que monta tanto, no olvides que una derivada es un número que expresa una tasa de cambio, y cualquier definición es buena siempre que la sepas interpretar y seas congruente con ella.

Saludos,

[Visitante]

Re: Derivada direccional

$\nabla f \cdot \vec v$.

En este caso no veo que la definición sea equivalente a la del principio.

Y respecto a lo del módulo, realmente ¿qué significada la derivada cuando está influenciada por el módulo? sé que en caso de cogerlo con un vector unitario tendríamos que es el incremento que tiene la función en esa dirección si nos desplazamos un infinitesimal, pero cuando influye el módulo, ¿cuál es el cambio? ¿sería la cantidad que me desplazo en dicho vector?

[alexpglez]

Re: Derivada direccional

Hola, veo que hay muchas dudas, intentaré resolverlas todas. Primero voy a intentar explicar qué significa la derivada direccional y por último cuáles son sus propiedades (para funciones "buenas").

He estado tratando de entender el concepto de derivada direccional pero no la logro entender del todo. Por lo que tengo entendido es cuánto cambia la función si se desplaza en el sentido del vector, pero no veo geométricamente de dónde sale la definición:

${\nabla}_{\vec{v} }f(\vec{x})=\lim_{h \to 0} \dst \frac{f(\vec{x}+h \vec{v})-f(\vec{x})}{ h}$

Más o menos puedo hacerme la idea pero no estoy muy satisfecho con las explicaciones que he visto. Ahora, lo que no entiendo es de dónde sale esto:

${\nabla}_{\vec{v} }f(x,y)={v}_{ x} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+{v}_{y }\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$

he visto que a veces lo ponen con el vector unitario:
${\nabla}_{\vec{v} }f(x,y)=\nabla f(x,y) \frac{\vec{v}}{\left\vert{} \vec{v} \right\vert{}}$

En efecto la definición es:

$$\nabla_{v}f(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+hv)-f(x)}{h}=\frac{d}{dh}\vert_{h=0}f(x+hv)$$

Cojamos un espacio afín real $A$ con espacio vectorial asociado $V$. Sea $O,P \in A$ distintos, nuestra idea es que $P \to O$, pero esto se puede hacer en principio por cualquier trayectoria, así que pensemos en las trayectorias más simples: las rectas. Es obvio que un vector director de la recta es $v=\vec{OP}$, todo punto de la recta será de la forma $O+hv \;\; h \in \mathbb R$. Sea $f:A \longrightarrow \mathbb R$, el incremento de nuestra función será $\Delta_h f=f(O+hv)-f(O)$ y la distancia entre $O$ y $O+hv$ es obviamente $|\Delta_h x|=\vert \vert hv \vert \vert=\vert h \vert \vert \vert v \vert \vert$ (notesé que esto $|\Delta_h x|$ no tiene en cuenta la orientación de la recta, en cambio $\Delta_h x= h \vert \vert v \vert \vert$ si que la tiene), luego nuestra "protoderivada" tiene que ser:

$$\lim_{h \to 0} \frac{\Delta_h f}{\Delta_h x}=\frac{1}{||v||}\lim_{h \to 0} \frac{f(x+hv)-f(x)}{h}$$

Que equivale a la primera fórmula reestringiendo $||v||=1$. Para mí es mucho más rica la primera fórmula, pues tiene mejores propiedades.

Sea $f: \mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R$ una función $C^1$ (es decir que las derivadas parciales $\partial_x f(x,y) \;\; \partial_y f(x,y)$ existen y son continuas). Entonces se cumple que:

$$\nabla_v f(x,y)=v_x \partial_x f(x,y)+v_y \partial_y f(x,y)$$

Demostración:

$$f(x+\lambda v)-f(x)=f(x+\lambda v_x,y+\lambda v_y)-f(x,y)=$$

$$f(x+\lambda v_x,y+\lambda v_y)-f(x+\lambda v_x,y)+f(x+\lambda v_x,y)-f(x,y)$$

Aplicando el teorema de Lagrange (del cálculo en una variable):

$$f(x+\lambda v_x,y+\lambda v_y)-f(x+\lambda v_x,y)=\lambda v_y \partial_y f(x+\lambda v_x, y+\epsilon_y v_y)$$

Donde $y+\epsilon_y v_y$ está entre $y \;\; y+\lambda y$, que es lo mismo que $\epsilon_y$ está entre $0 \;\; \lambda_y$.
Y análogamente:

$$f(x+\lambda v_x,y)-f(x,y)=\lambda v_x \partial_x f(x+\epsilon_x v_x, y)$$

Donde $\epsilon_x$ está entre $0$ y $\lambda$.
Luego tenemos que:

$$\frac{f(x+\lambda v)-f(x)}{\lambda}= v_y \partial_y f(x+\lambda v_x, y+\epsilon_y v_y)+v_x \partial_x f(x+\epsilon_x v_x, y)$$

Y tomando límites, como $\epsilon_x \;\; \epsilon_y \to 0$ cuando $\lambda \to 0$. Tenemos que:

$$\nabla_{v}f(x,y)=v_x \partial_x f(x,y)+v_y \partial_y f(x,y)$$

(Notemos que el teorema sigue siendo válido si sólo suponemos que las derivadas parciales existen en un entorno del punto y son continuas en el punto... y claramente vale para dimensión finita, no solamente 2)

Pero la fórmula del teorema no se cumple siempre, aunque ahora mismo no recuerdo ningún contraejemplo.

Algunas propiedades que se deducen son:

$$\nabla_{\lambda v} f=\lambda \nabla_{v}f$$

$$\nabla_{v+w}f=\nabla_v f+ \nabla_w f$$

La propiedad 1 es fácil de deducir sin más que suponer la existencia de $\nabla_v f$ porque por la regla de la cadena:

$$\nabla_{\lambda v}f(x)=\frac{d}{dh}\vert_{h=0}f(x+h \lambda v)=\frac{d}{d\epsilon}\vert_{\epsilon=0}f(x+\epsilon v)\frac{d(h \lambda)}{dh}\vert_{h=0}=\lambda \nabla_v f(x)$$

En cambio la propiedad 2 equivale a la fórmula del teorema anterior. Luego (2) es válida cuando se dan las hipótesis del teorema.

Espero que se hayan aclarado un poco tus dudas.