Secundaria Integral de tanh(x)

[AlexFeynman]

Buenas, me ha surgido la siguiente duda sobre calcular el área bajo la curva.

Integrando la función $tanh(x)$ como $\int \frac{e^x - {e}^{ -x} }{e^x + {e}^{-x } } dx$ , he hecho la sustición $x=e^x$, quedando $\int \frac{u^2 -1}{u^2 +1 } \frac{1}{u } du$, y la he dividido en dos integrales $\int\frac{2u}{u^2 +1 } du -\int\frac{1}{ u} du$ con lo

que me queda $ln(e^2x +1) - ln(e^x) = ln(\frac{{e}^{ 2x} +1}{e^x })$. Como también se que la integral es $ln(cosh(x))$ he graficado las dos soluciones y al hacer la resta de las dos

funciones queda $ln(\frac{{e}^{ 2x} +1}{e^x }) - ln(cosh(x)) = ln(2)$. Mi duda es si la primera solución sirve para calcular el área bajo la curva $tanh(x)$.

Gracias de antemano.

[Alriga]

Re: Integral de tanh(x)

Piensa que la integral de la tanh x es inmediata:

$\dst \int \tanh x \ dx=\dst \int \dfrac{\sinh x}{\cosh x} dx$

Como la derivada del cosh x es el sinh x, inmediatamente:

$$\dst \int \tanh x \ dx=\ln \cosh x+C$$

Tú has obtenido, ¡no olvides la constante de integración!

$\dst \int \tanh x dx=\ln \dfrac{e^{2x}+1}{e^x}+K_1=\ln \dfrac{e^{2x}+1}{e^x}+\ln K=\ln \dfrac{K(e^{2x}+1)}{e^x}$

$$\dst \int \tanh x \ dx=\ln \dfrac{K(e^{2x}+1)}{e^x}$$

Puedes usar cualquiera de las 2 expresiones (1) o (2) para calcular el área bajo la curva, ambas son correctas, como entonces la integral es definida, las constantes se simplifican al aplicar la Regla de Barrow y se obtiene el mismo resultado. Compruébalo por ejemplo hallando con (1) y con (2):

$\dst \int_1^2 \tanh x \ dx=0.891222$

Saludos.

[AlexFeynman]

Re: Integral de tanh(x)

Cierto, me había olvidado de la constante.

[Richard R Richard]

Re: Integral de tanh(x)

$\int \frac{u^2 -1}{u^2 +1 } \frac{1}{u } du$, y la he dividido en dos integrales $\int\frac{2u}{u^2 +1 } du -\int\frac{1}{ u} du$

pues deberia quedarte

$\int\frac{u}{u^2 +1 } du -\int\frac{1}{ u^3+u} du$

y si resuelves la integral ...si te calcula el área bajo la curva de $tanh$

[Alriga]

Re: Integral de tanh(x)

pues debería quedarte

$\int\frac{u}{u^2 +1 } du -\int\frac{1}{ u^3+u} du$

y si resuelves la integral ...si te calcula el área bajo la curva de $tanh$

Richard, observa que la descomposición de Alex también es correcta, es la típica que se hace en estos casos:

$\dfrac{u^2 -1}{u^2 +1} \cdot \dfrac{1}{u}=\dfrac{A u}{u^2+1}+\dfrac B u$

Operando e igualando coeficientes del mismo grado sale:

$A+B=1$

$B=-1$

Por lo tanto $A=2$

$\dfrac{u^2 -1}{u^2 +1}\cdot \dfrac{1}{u}=\dfrac{2 u}{u^2+1}-\dfrac 1 u$

Saludos.

[AlexFeynman]

Re: Integral de tanh(x)

Sí, he separado la fracción hallando A y B, es el método que estoy dando en clase.

[Richard R Richard]

Re: Integral de tanh(x)

Richard, observa que la descomposición de Alex también es correcta, es la típica que se hace en estos casos:

Integración de funciones con cocientes racionales.... si habre hecho de esas integrales hace tiempo, pero ahora solo me despiste...Buscando como era el método, lo encontré pero a la vez no encontré solo uno sino varios métodos, y con ejemplos....

http://www.dma.fi.upm.es/recursos/ap...l/metodos.html