2o ciclo Geodésicas

[[Beto]]

Hola, estoy tratando de probar que si:

$$\ell = \int_C \sqrt{\sum_{i,j} g_{ij}x'_i(t)x'_j(t)} \ \dd t$$

representa la longitud de una curva en una superficie curva, entonces la ecuación diferencial de una geodésica vendría dada por:

$$\frac{\dd^2 x^\mu}{\dd s^2} + \sum_{\sigma,\nu} \Gamma_{\sigma \nu}^{\mu} \frac{\dd x^\sigma}{\dd s}\frac{\dd x^\nu}{\dd s} = 0$$

Se me ha ocurrido que debe de salir con la condición de Euler, ya que se asemeja a cuando encuentro un valor extremal para:

$$\ell=\int_C\sqrt{1+y'^2}\dd x$$

Y encuentro que las geodésicas son rectas.

Pero en este caso no muy bien como aplicarlo para hacer que aparezcan los símbolos de Christoffel.

¿Alguna ayudita?

[Entro]

Re: Geodésicas

Busca la definición de los simbolos y verás como dependen de las derivadas de la métrica. Y en este caso la métrica lo debes de tratar como un campo más, así que tiene variación con las x...