1r ciclo Determinar una función

[cristianoceli]

Hola tengo dificultades con este ejercicio, no se me ocurre como hacerlo.


Determine una función $g(x)$ tal que $g(ln(3))= \displaystyle\frac{1}{30}$ y con $g^{\prime} = \displaystyle\frac{e^x}{(e^x-2)(e^x+1)^2}$


De antemano gracias.




Saludos

[Alriga]

Re: Determinar una función

Te están pidiendo que resuelvas:

$g(x)=\displaystyle \int\frac{e^x}{(e^x-2)(e^x+1)^2}dx$

Con la condición de contorno:

$g\Big (\ln 3\Big )= \displaystyle\frac{1}{30}$

Si hacemos el cambio de variable :

$e^x+1=u$

$e^x dx=du$

Nos queda:

$\displaystyle g(x)=\int \dfrac{du}{(u-3)u^2}$

Es la integral de una fracción racional. Como se hace siempre, convirtiendo el integrando en suma de fracciones queda:

$\dfrac{1}{u^2(u-3)}=\dfrac A{u^2}+\dfrac B{u}+\dfrac C{u-3}$

$\dfrac{1}{u^2(u-3)}=-\dfrac 1{3u^2}-\dfrac 1{9u}+\dfrac 1{9(u-3)}$

Ahora resuelve estas integrales tan sencillas (no olvides la constante de integración), deshaz el cambio de variable y aplica la condición de contorno para hallar la constante de integración.

Saludos.

[cristianoceli]

Re: Determinar una función

Te están pidiendo que resuelvas:

$g(x)=\displaystyle \int\frac{e^x}{(e^x-2)(e^x+1)^2}dx$

Con la condición de contorno:

$g\Big (\ln 3\Big )= \displaystyle\frac{1}{30}$

Si hacemos el cambio de variable :

$e^x+1=u$

$e^x dx=du$

Nos queda:

$\displaystyle g(x)=\int \dfrac{du}{(u-3)u^2}$

Es la integral de una fracción racional. Como se hace siempre, convirtiendo el integrando en suma de fracciones queda:

$\dfrac{1}{u^2(u-3)}=\dfrac A{u^2}+\dfrac B{u}+\dfrac C{u-3}$

$\dfrac{1}{u^2(u-3)}=-\dfrac 1{3u^2}-\dfrac 1{9u}+\dfrac 1{9(u-3)}$

Ahora resuelve estas integrales tan sencillas (no olvides la constante de integración), deshaz el cambio de variable y aplica la condición de contorno para hallar la constante de integración.

Saludos.

Muchas gracias.

Saludos