1r ciclo Operador laplaciano

[CarlosPerez]

Buenas, en el siguiente ejercicio se pide evaluar $\nabla^2 f$ para $f= e^{-r}$ siendo $r= (x^2+y^2+z^2)^\frac{1}{2}$ para ello aplicamos la fórmula $\dst\nabla^2 f=\frac{\partial^2 f }{\partial x^2 }+\frac{\partial^2 f }{\partial y^2 }+\frac{\partial ^2 f}{\partial z^2 }$
Hacemos:

$\dst\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}$

$\dst\frac{\partial r }{\partial y}=\frac{y}{r}$

$\dst\frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}$

Por la regla de la cadena,

$\dst\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\mathrm{d}f }{\mathrm{d}r}\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}$

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Pero no entiendo cómo halla el último igual.

[arivasm]

Re: Operador laplaciano

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Pero no entiendo cómo halla el último igual.

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Ahora usas $\dst\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}r}\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}r}$

Así
$\dst\frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{r}=\frac{x}{r}\frac{\dd}{\dd r}\frac{1}{r}=-\frac{x}{r^3}$
$\dst\frac{\partial}{\partial x}\frac{\dd f}{\dd r}=\frac{x}{r}\frac{\dd}{\dd r}\frac{\dd f}{\dd r}=\frac{x}{r}\frac{\dd^2 f}{\dd r^2}$

El resto es substituir

[CarlosPerez]

Re: Operador laplaciano

He entendido como se obtienen los sumandos segundo y tercero, pero no cómo hallas el primer sumando el que hace que $x\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}=\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}$

[arivasm]

Re: Operador laplaciano

Disculpa, pero había un error en lo que escribí. De hecho no sale lo que hay que demostrar.

Lo que hice fue expresar $\frac{x}{r}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}$ como producto de tres cantidades, $x$, $\frac{1}{r}$ y $\frac{\dd f}{\dd r}$. Por eso empecé escribiendo
$\dst\frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{x}{r} \frac{\dd f}{\dd r} \right) =\frac{\partial }{\partial x} \left(x\frac{1}{r}\frac{\dd f}{\dd r}\right)$
Por tanto se trata de aplicar la derivada del producto de tres cosas. El primer sumando es
$\dst\frac{\partial x}{\partial x}\ \frac{1}{r}\frac{\dd f}{\dd r}$
que, obviamente, vale
$\dst\frac{1}{r}\frac{\dd f}{\dd r}$