1r ciclo Serie de Fourier

[Enrique Ortiz Martinez]

$f(\theta )=\begin{cases} (2a)^{-1} & { (|\theta |<a)} \\0 & {(a<|\theta |<\pi )}\end{cases}$$.....(1)$


$\frac{1}{2\pi }+\frac{1}{\pi }\sum_{1}^{\infty }\frac{sen(na)}{na}cos(n\theta )$$.....(2)$


Mi duda es esta, de la función (1) que es una función a trozos debo de llegar a la serie de Fourier de (2), pero mi única duda es que limites debo de escoger para llegar a la serie de fourier que me piden.

Lo que hice primero es encontrar en cosficiente ${a}_{0 }$ asi que uso el coeficiente:

$a_{0}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx$


$a_{0}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\frac{1}{2a }dx$


pero que limites debo de colocar en esta integral pata que llegue al coeficiente $\frac{1}{2\pi }$ que esta en (2), me confunde el $(|\theta |<a)$ de antemano muchas gracias

[Alriga]

Re: Serie de Fourier

Hola Enrique, bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva.

Uso x en vez de $\theta$ porque es más corto de escribir en LaTeX. La definición que te dan de la función sin utilizar valores absolutos es:

$f(x)=0 \qquad -\pi<x<-a$

$f(x)=\dfrac 1{2a} \qquad -a<x<a$

$f(x)=0 \qquad a<x<\pi$

$f(x+2k\pi)=f(x) \qquad \forall k\in \mathbb N$ (condición de periodicidad)

En general, el primer sumando de la serie se calcula mediante:

$\dst \dfrac{a_0}2=\dfrac 1 T \int_0^T f(x)dx$

O bien:

$\dst \dfrac{a_0}2=\dfrac 1 T \int_{-T/2}^{T/2} f(x)dx$

En nuestro caso $T=2\pi$ y por lo tanto $T/2=\pi$ Usemos la segunda expresión.

$\dst \dfrac{a_0}2=\dfrac 1{2\pi} \left [ \int_{-\pi}^{-a} 0\cdot dx+\int_{-a}^{a} \dfrac 1{2a}dx +\int_{a}^{\pi} 0\cdot dx \right ]$

$\dst \dfrac{a_0}2=\dfrac 1{2\pi}\dfrac 1{2a}\int_{-a}^a dx=\dfrac 1{2\pi}\dfrac 1{2a}(2a)=\dfrac 1{2\pi}$

En general, el resto de sumandos $a_n$ se calculan mediante:

$\dst a_n=\dfrac 2 T \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \dfrac{2\pi n}{T}x \ dx$

En nuestro caso, descomponiendo la integral en suma de integrales igual que hemos hecho para $a_0$:

$\dst a_n=\dfrac 2{2\pi} \int_{-a}^{a} \dfrac 1{2a} \cos \dfrac{2\pi n}{2\pi}x \ dx$

$\dst a_n=\dfrac 1{2\pi a} \int_{-a}^{a} \cos n x \ dx=\dfrac 1{2\pi a}\left [\dfrac{\sin nx}n \right ]_{-a}^a$

$a_n=\dfrac{\sin n a}{\pi n a}$

La expresión general de la Serie de Fourier:

$\dst S(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos \left( \frac{2n\pi}{T}x \right) + b_n\sin \left( \frac{2n\pi}{T}x \right) \right ]$

Como nuestra función es PAR todos los sumandos $b_n=0$ Por lo tanto la serie de Fourier es:

$f(x) \approx S(x)=\dst \dfrac{1}{2\pi}+\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sin n a}{\pi n a} \cos nx$

$S(x)=\dst \dfrac{1}{2\pi}+\dfrac 1{\pi a}\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sin n a \cdot \cos nx}n$

Repásalo y si tienes alguna duda pregunta, saludos.