1r ciclo Serie de Fourier para una serie de funciones

[Enrique Ortiz Martinez]

De las ecuaciones 1) o 2) utilizar los valores adecuados de $\theta$ generalmente $( 0 ,\frac{\pi }{2},\pi )$ para llegar a la ecuación indicada.

1)

$$f(\theta )=e^{b\theta }(-\pi <\theta <\pi ) \quad | \quad\frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{b-in}e^{in\theta }$$

2)

$$f(\theta )=e^{b\theta }(0<\theta <2\pi )\quad | \quad\frac{e^{2\pi b}-1}{2\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{in\theta }}{b-in}$$

Ecuación indicada:

$$\sum_{1 }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+b^{2}}=\frac{\pi }{2b}csch(b\pi )-\frac{1}{2b^{2}}$$

Bueno yo inicie con la ecuación 1):

$$e^{b\theta }=\frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{b-in}e^{in\theta }$$

Si $\theta =0$

$$e^{b(0)}=\frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{b-in}e^{in(0) }$$

$$1=\frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{b-in}$$

Utilizando el conjugado del complejo:

$$1=\frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{b-in}\frac{b+in}{b+in}$$

$$1=\frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\frac{b+in}{b^{2}+n^{2}}$$

$$\pi csch(b\pi )=\sum_{-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\frac{b+in}{b^{2}+n^{2}}$$

Hasta aquí solo e llegado, nose si sea por la ecuación 1 llegar al resultado o por la ecuación 2, otra duda que tengo es que las sumatorias de las ecuaciones 1) y 2) tienden de $(-\infty ,\infty )$ y el del resultado la sumatoria tiende de $(1,\infty )$, como hago para que las sumatorias de $(-\infty ,\infty )$ tiendan a $(1,\infty )$ , mi idea fue ver si las funciones eran par o impar pero como las dos son exponenciales no son pares ni impares, me pueden ayudar con mi problema de antemano gracias.

[Al2000]

(OT) )Re: Serie de Fourier para una serie de funciones

Me voy a permitir sugerirte que uses las etiquetas [TEX=null][/TEX] en lugar de las simples etiquetas [TEX][/TEX] para tus ecuaciones, dado que usas fracciones y exponentes, con lo cual las ecuaciones en línea (etiqueta [TEX]) se ven de tamaño muy reducido (a fin de ser acomodadas en la línea). El comando [TEX=null] ordena centrar la ecuación y usar el tamaño de fuente normal.

Tu primera ecuación

[TEX]f(\theta )=e^{b\theta }(-\pi <\theta <\pi )[/TEX] | [TEX]\frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{b-in}e^{in\theta }[/TEX]

se podría escribir mas clara como

[TEX=null]f(\theta )=e^{b\theta }(-\pi <\theta <\pi ) \quad | \quad \frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{b-in}e^{in\theta }[/TEX]

que sería mostrada como

$$f(\theta )=e^{b\theta }(-\pi <\theta <\pi ) \quad | \quad \frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{b-in}e^{in\theta }$$

Nota el comando \quad que inserta un espacio grande en lugar de usar dos ecuaciones pegadas.

Más información la puedes obtener en la página Cómo introducir ecuaciones en los mensajes.

Saludos,

$\mathcal A \ell$