Otras carreras Mostrar que es un número entero

[cristianoceli]

Hola tengo dificultades con este ejercicio


Demuestre que el número $\sqrt[ ]{3+\sqrt[ ]{8}} - \sqrt[ ]{3-\sqrt[ ]{8}}$ es un número entero




Saludos

[Alriga]

Re: Mostrar que es un número entero

Sea:

$x=\sqrt{3+\sqrt 8} - \sqrt{3-\sqrt 8}$

Elevando al cuadrado y recordando que $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$

$x^2=(3+\sqrt 8)+(3-\sqrt 8)-2 \cdot \sqrt{3+\sqrt 8}\sqrt{3-\sqrt 8}=3+3-2\sqrt{(3+\sqrt 8)\cdot(3-\sqrt 8)}$

$x^2=6-2 \sqrt{9-8}=4$

$x=2$

Saludos

[cristianoceli]

Re: Mostrar que es un número entero

Muchas gracias Alriga

[arivasm]

Re: Mostrar que es un número entero

Don Tiquismiquis (yo) ataca de nuevo... No afecta a la esencia del problema, pero por aquello de que no vaya a ser que el profesor de cristianoceli sea tan (o más) Tiquismiquis que yo y no le ponga el sobresaliente a Alriga

$x^2=6-2 \sqrt{9-8}=4$

$x=2$

En realidad $x=\pm 2$.

[Alriga]

Re: Mostrar que es un número entero

... En realidad $x=\pm 2$.

No lo veo así arivasm. Yo entiendo que se sobreentiende que el enunciado se refiere a que supongas las 4 raíces que aparecen como positivas, es decir que demuestres que es entero:

$x=+\sqrt{3+(+\sqrt 8)} - \left (+\sqrt{3-(+\sqrt 8)}\right )$

y entonces la solución única es x=+2

Porque si el enunciado permitiese +/- como resultado de las raíces,

$\pm \sqrt{3+(\pm\sqrt 8)} - \left (\pm\sqrt{3-(\pm\sqrt 8)}\right )$

entonces la premisa de que el resultado es entero sería falsa, ya que hay combinaciones no enteras, como por ejemplo:

$+\sqrt{3+(+\sqrt 8)} - \left (-\sqrt{3-(+\sqrt 8)}\right )=2.828427\dots$

Saludos.

[arivasm]

Re: Mostrar que es un número entero

Tienes razón. Es un clásico de los problemas en los que al elevar al cuadrado se introducen nuevas soluciones (en este caso la -2) algunas de las cuales pueden ser incorrectas, por lo que debería verificarse su cumplimiento.

Tu sobresaliente está garantizado. A ver si cristianoceli también garantiza los suyos haciendo algo más que escribir enunciados.