1r ciclo Deducir la formula de D’alembert con transformada de Fourier

[Enrique1990]

De la ecuación:

$$\tilde{u}(\xi ,t)=\tilde{f}(\xi)cos(ct\xi)+\tilde{g}(\xi)(c\xi)^{-1}sen(ct\xi)$$

Use la transformada inversa de Fourier para obtener la ecuación de D’Alembert:

$$u(x,t)=\frac{1}{2}[f(x-ct)+f(x+ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi (y)dy$$

Bueno lo que he hecho fue primero usar la transformada inversa de Fourier:

$$u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\tilde{u}(\xi ,t)e^{-i\xi x}d\xi$$

Sustituyo la ecuación que se me dio obteniendo:

$$u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\left \{ \int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)cos(c\xi t)+\frac{\tilde{g}(\xi )}{c\xi}sen(c\xi t) \right \}e^{-i \xi x}d\xi$$

$$u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)cos(c\xi t)e^{-i \xi x}d\xi+\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\tilde{g}(\xi )}{c\xi}sen(c\xi t)e^{-i \xi x}d\xi$$

Resuelvo la integral:

$$u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)cos(c\xi t)e^{-i \xi x}d\xi$$

Uso la identidad:

$$cos(c\xi t)=\frac{e^{ict\xi }+e^{-ict\xi }}{2}$$

$$u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\tilde{f(\xi)}}{2}\left [ e^{ict\xi }+e^{-ict\xi } \right ]e^{-i \xi x}d\xi$$

$$u(x,t)=\frac{1}{2 }\left \{ \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)e^{-i\xi (x- ct)}d\xi+\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\tilde{f}(\xi)e^{-i\xi (x+ct)}d\xi \right \}$$

$$\therefore u(x,t)=\frac{1}{2}\left [ f(x-ct)+f(x+ct) \right ]$$

Ahora resuelvo:

$$u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\tilde{g}(\xi )}{c\xi}sen(c\xi t)e^{-i \xi x}d\xi$$

Pero no sé cómo hacerlo, me podrían ayudar como le hago para resolver esta integral para encontrar el factor:

$$\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi (y)dy$$

He estado investigando y según se usa la convolucion, pero no me sale, me podrían ayudar, de antemano gracias