1r ciclo Integral usando transformada de fourier

[[Beto]]

Hola, me han pedido calcular la siguiente integral:

$$\int_0^\infty e^{-ak}\frac{\sin bk}{k}\dd k\;\;a>0;b>0$$

Usando transformada de Fourier.

Supongo que la idea es conocer una función cuya trasformada se asemeje al término que está en la integral, y usar la trasnformada inversa ... o quizás por ahí aplicar que:

$$\mathcal{F}\{f^{(n)}(x)\}=(-ik)^{(n)}\mathcal{F}\{f(x)\}$$

Lo último porque por ahí veo un $k$ dividiendo, pero no se me ocurre más.

¿Alguna ayuda?

[carroza]

Re: Integral usando transformada de fourier

Yo la haria obteniendo primero la función

$f(a,b)= \int_0^\infty e^{-ka} \sin(bk) dk$

y luego considerando que la integral que quieres es igual a

$I = - \int f(a,b) da$.

Creo que te sale $I = \arctan(b/a)$

[alefriz]

Re: Integral usando transformada de fourier

Hola, me han pedido calcular la siguiente integral:

$$\int_0^\infty e^{-ak}\frac{\sin bk}{k}\dd k\;\;a>0;b>0$$

Usando transformada de Fourier.

Supongo que la idea es conocer una función cuya trasformada se asemeje al término que está en la integral, y usar la trasnformada inversa ... o quizás por ahí aplicar que:

$$\mathcal{F}\{f^{(n)}(x)\}=(-ik)^{(n)}\mathcal{F}\{f(x)\}$$

Lo último porque por ahí veo un $k$ dividiendo, pero no se me ocurre más.

¿Alguna ayuda?

Hola

Mira la transformada de Fourier en seno: http://www.lawebdefisica.com/apuntsmat/trans/

$$F_S(b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty{f(k)sin(bk)dk }$$

$$f(k)=\frac{e^{-ak}}{k}$$

[polonio]

Re: Integral usando transformada de fourier

Yo veo una transformada seno de $\frac{e^{-ak}}{k}$

(vaya, veo que Alefriz se me ha adelantado...)

Pues, eso.

[[Beto]]

Re: Integral usando transformada de fourier

Por el otro camino (el de la transformada seno) no me sale, quizás creo que es como dice carroza, pero ... ¿como concluyo esto?

$I = - \int f(a,b) da$.

Creo que te sale $I = \arctan(b/a)$

[carroza]

Re: Integral usando transformada de fourier

$I = \int_a^\infty f(a',b) da' = \int_a^\infty da' \int_0^\infty dk \exp(-a' k) \sin(b k)$

Ahora cambias el orden de integración, e integras con respecto a "a'". Te sale
exp(-ka) /k. Con lo que tienes:

$I = \int dk \exp(-a k) \sin(b k)/k$

[[Beto]]

Re: Integral usando transformada de fourier

$I = \int_a^\infty f(a',b) da' = \int_a^\infty da' \int_0^\infty dk \exp(-a' k) \sin(b k)$

Me parece que en la integlar de afuera los límites tienen que ser de 0 hasta a, corrijanme si me equioco

[carroza]

Re: Integral usando transformada de fourier

La integral es de "a" a infinito, para que te salga $\exp(-ak)/k$.
Si la haces de cero a "a", te sale $(1-\exp(-ak))/k$

[[Beto]]

Re: Integral usando transformada de fourier

La integral es de "a" a infinito, para que te salga $\exp(-ak)/k$.
Si la haces de cero a "a", te sale $(1-\exp(-ak))/k$

Uhm .. entonces creo que voy confundido en como tomar los límites de las integrales al hacer el cambio en el orden de integración, ¿podrías aclararme esa parte?.

[carroza]

Re: Integral usando transformada de fourier

$I = \int_a^\infty da' \int_0^\infty dk \exp(-a' k) \sin(b k)$

$I = \int_0^\infty dk \sin(b k)\int_a^\infty da'\exp(-a' k)$



$I = \int_0^\infty dk \sin(b k) exp(-a k)/k$