1r ciclo Ayuda con un par de series

[Mayhem]

Hola, tengo un par de ejercicios sobre series, y la verdad es que no sé por donde cogerlos. Agradecería que me diéseis una pista para saber por donde tirar

Son:

1) Analiza el carácter de esta serie: $\sum_{n=0}^\infty tan^2 \frac{x}{n}$

Con esta he intentado varios criterios, pero como es una tangente no sé muy bien que hacer...

2) Suma esta serie: $\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2+1}{5^n}$

De esta había pensado que era una serie aritmético-geométrica, pero no puede ser por el n al cuadrado. (La solución de esta última es 23/32)

¡Gracias!

[Eichs]

Re: Ayuda con un par de series

Hola.

1) Obviamente si $x=0$ la serie es convergente, en otro caso, observamos que como

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\tan^{2}\dfrac{x}{n}}{\dfrac{1}{n^{2}}}=x^{2}\neq0$$

Por el criterio de comparación por paso al límite del cociente, como la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}$ converge, se deduce que nuestra serie converge.

2) Si $a_{n}=\dfrac{n^{2}+1}{5^{n}}$, tenemos que como

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^{2}+2n+2}{5n^{2}+5}=\dfrac{1}{5}<1$$

Por el criterio de d'Alembert, la serie converge. Trata de completar los detalles y si tienes dudas, pregunta.

Saludos.

[Jose D. Escobedo]

Re: Ayuda con un par de series

Para la segunda serie te dire que el resultado no es el correcto porque teniendo en cuenta que el primer termino de la serie es 1 y si le sumas los otros terminos obtendras un numero $a>1$ y como $\displaystyle a>1>\frac{23}{32}$ es obvio que $\displaystyle a\ne \frac{23}{32}$

El primer termino es $\displaystyle \frac{0^2 +1}{5^0} = \frac{1}{1} =1$

El resultado de dicha serie es $\displaystyle \frac{55}{32}$ porque el libro donde sacaste el problema o de donde lo hayas copeado tal vez trataba de expresar esto $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^2 +1}{5^n}$ en vez $\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^2 +1}{5^n}$.

Una vez que hayas comprobado que la serie #2 converge el limite se encuentra de la siguiente forma:

$\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^2}{5^n} + \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{5})^n = \lim_{x \to \frac{1}{5}} \lim_{n \to \infty} \sum_{n=0}^n n^2 x^n + \frac{5}{4}$

$\displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{5}} \lim_{n \to \infty} \sum_{n=0}^n x n \frac{d(x^n)}{dx} + \frac{5}{4} = \lim_{x \to \frac{1}{5}} \lim_{n \to \infty} x \frac{d}{dx}(\sum_{n=0}^n n x^n) +\frac{5}{4}$

$\displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{5}} \lim_{n \to \infty} x \frac{d}{dx} (x \frac{d}{dx}(\sum_{x=0}^n x^n)) + \frac{5}{4}$

$\displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{5}} x \frac{d}{dx}(x \frac{d}{dx}(\frac{1}{1-x})) + \frac{5}{4}$

$\displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{5}} x \frac{d}{dx}( \frac{x}{(1-x)^2}) +\frac{5}{4}$

$\displaystyle \frac{15}{32} + \frac{5}{4} =\frac{55}{32}$

[Mayhem]

Re: Ayuda con un par de series

Muchísimas gracias por tu ayuda, la verdad es que da gusto preguntar por aquí

Creo que el primero me ha quedado bastante claro. Para saber si converge o diverge utilizas lo de los infinitésimos equivalentes, ¿no? Es decir, que cuando el angulo de la tangente tiende a 0, la tangente de x es igual a x. Entonces es fácil, lo que pasa es que se me había olvidado

Respecto al segundo, efectivamente he copiado mal el ejercicio y es desde n=1 hasta infinito, no desde n=0. De cualquier manera, sólo es cambiar una fracción.

Calcular la suma de este ejercicio no me ha quedado tan claro, la verdad es que me parece algo complicado. No entiendo como realizas este paso:

$<br /> \displaystyle\lim_{x \to \frac{1}{5}} \lim_{n \to \infty} \sum_{n=0}^n n^2 x^n + \frac{5}{4} -------> \lim_{x \to \frac{1}{5}} \lim_{n \to \infty} \sum_{n=0}^n x n \frac{d(x^n)}{dx} + \frac{5}{4}$

Saludos y gracias de nuevo

[Jose D. Escobedo]

Re: Ayuda con un par de series

Respecto al segundo, efectivamente he copiado mal el ejercicio y es desde n=1 hasta infinito, no desde n=0. De cualquier manera, sólo es cambiar una fracción.

Calcular la suma de este ejercicio no me ha quedado tan claro, la verdad es que me parece algo complicado. No entiendo como realizas este paso:

$<br /> \displaystyle\lim_{x \to \frac{1}{5}} \lim_{n \to \infty} \sum_{n=0}^n n^2 x^n + \frac{5}{4} -------> \lim_{x \to \frac{1}{5}} \lim_{n \to \infty} \sum_{n=0}^n x n \frac{d(x^n)}{dx} + \frac{5}{4}$

Saludos y gracias de nuevo

Puedes revisar en cualquier libro de calculo que $\displaystyle \frac{d(x^n)}{dx} = nx^{n-1}$ que multiplicado por $xn$ da como resultado $n^2x^n$

Ademas, te queria decir que tengas cuidado con la primer serie porque $\displaystyle \tan^2\frac{x}{n}$ no esta definida para n=0, pienso que cometiste el mismo error que la segunda serie, tambien revisa cuando $\displaystyle \frac{x}{n} = (2k - 1)\frac{\pi}{2}$ para que veas si puedes encontrar si la serie converge o diverdge. Para k es elemento de los #'s enteros.

bye y hasta luego