1r ciclo Ayuda con este problema de limites

[raguirrev]

Hola a todos quisiera que porfavor me ayuden a resolve este problema he intentado muchos metodos pero siempre me pierdo mas y mas.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Eichs]

Re: Ayuda con este problema de limites

Hola.

Intenta aplicar dos veces la regla de L'Hôpital, solo ten paciencia con los cálculos, sugiero que lo inténtes una vez más, si he realizado bien los cálculos debe de salir $L=\dfrac{1}{6}$

Si tienes problemas, indícanos dónde te atascas o hasta dónde llegas para terminar con tus dificultades .

Saludos.

[alespa07]

Re: Ayuda con este problema de limites

Creo que aquí el método más directo es desarrollar sen(x) y tan(x)^3 con Mac_Laurin hasta orden cúbico. Te tiene que salir en dos líneas ya que tan(x)^3 a orden cúbico es inmediato y es x^3. A partir de ahí sale solo.

[raguirrev]

Re: Ayuda con este problema de limites

Bueno ya me salio lo que use fue :

senx=x- x^3)/3! + (x^5)/5! ...

Pero yo quisiera saber si no hay otra forma , osea algo con sustituciones trigonometricas ; en pocas palabras lo que yo deseo es solo usar un metodo por sustituciones y evitar usar hospital .

Pero igual gracias por la ayuda.

[Metaleer]

Re: Ayuda con este problema de limites

Hola,

También puedes usar los denominados infinitésimos equivalentes. Se dice que dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ son infinitésimos en un punto $x_0$ (también puede ser $\infty$) cuando

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = 0$

y además infinitésimos y equivalentes si también se cumple que

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$

Un resultado importante de los infinitésimos equivalentes es que se pueden sustituir por su función "equivalente" en límites cuando $x \rightarrow x_0$ cuando la función está multiplicando o dividiendo a todo lo demás.

Las dos funciones (numerador y denominador) claramente tienden a cuando $x \rightarrow 0$. También se puede demostrar (desarrollando en serie de Taylor centrado en ) que

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan^3 x}{x^3} = 1$

y

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x - \sin x}{\displaystyle\frac{x^3}{6}} = 1$

luego

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x - \sin x}{\tan^3 x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{x^3}{6}}{x^3} = \frac{1}{6}$

Que es lo que queríamos demostrar.

Realmente, este método es idéntico a sustituir cada función por su correspondiente serie de Taylor como ya han sugerido, pero proporciona un método mecánico para realizar la sustitución de forma directa si se dispone de una tabla de infinitésimos equivalentes.

Saludos y felices fiestas (que ya se acaban ).