1r ciclo Un par de límites

Tengo problemas para resolver los dos siguientes límites en el infinito, a ver si alguien me los puede resolver:

(a) lim [ln(n)·sen(n)]/n
n->inf

(b) lim {arctan(n)·[ln(n)^2 + 2]}/n
n->inf


Gracias de antemano.

[balik]

Re: Un par de límites

EN EL PRIMERO RECUERDA QUE EL LIMITE DE UN PRODUCTO ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS LIMITES. ASI QUE
lIM (LNX*SINX)/xando x tiene a infinito es igual al producto del limite del lnx/x del limite del senx/xcuando ambos limites tienden a infinito.

el limite de senx/x cuando tiende a inf e cero.

y en el lnx/x , si resuelves el limite por sustitucion directa, veras que es del caso de inf/inf
de forma tal que puedes usar la regla del l hospital. Derivas arriba y abajo , y vera que el limite es cero tambien.

[Metaleer]

Re: Un par de límites

Bueno, hay que tener cuidado cuando se aplica L'Hospital a sucesiones, ya que lo que ha preguntado son límites de sucesiones, y derivar sucesiones pues carece de sentido.

Lo que se debe hacer primero, es que lo me parece que ha hecho balik es definir las funciones reales de variable real correspondientes, y tener en cuenta que:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L \Longleftrightarrow$ toda sucesión $\{a_n\} \subset dom ~ f$ con $a_n \rightarrow \infty$ cumple $f(a_n) \rightarrow L$. Si tomamos $a_n = n$, obtenemos la equivalencia deseada.

Para el segundo de los límites, lo que yo haría es lo siguiente:

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\arctan (n)(\ln^2 n + 2)}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \arctan n \cdot \frac{\ln^2 n + 2}{n} \right) = "acotada"\cdot 0 = 0$

Para demostrar que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln^2 n + 2}{n}$ es , definimos la función $\displaystyle \frac{\ln^2 x + 2}{x}$, tomando límites obtenemos la indeterminación $\infty/ \infty$. Aplicando la regla de L'Hospital,

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln^2 x + 2}{x} = 2\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x}$

Debemos probar pues que $x > \ln x ~ \forall x ~ \in (0, \infty)$. Definimos otra función:

$\displaystyle f(x) = x - \ln x$

donde se debe cumplir $\displaystyle f(x) > 0 ~ \forall x ~ \in (0, \infty)$.

En efecto: calculemos los extremos relativos:

$\displaystyle f'(x) = 1 - \frac{1}{x} \Rightarrow f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1$

que corresponde a un mínimo relativo, ya que:

$\displaystyle f''(x) = \frac{1}{x^2} \Rightarrow f''(1) = 1 > 0$

Y en este punto, el mínimo vale:

$f(1) = 1 - \ln 1 = 1$

Luego el mínimo valor que toma la función es éste, nunca llegando al 0, que es lo que queríamos demostrar, para concluir que

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln^2 x + 2}{x} = 2\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$

y finalmente demostrar que

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\arctan (n)(\ln^2 n + 2)}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \arctan n \cdot \frac{\ln^2 n + 2}{n} \right) = "acotada"\cdot 0 = 0$

Saludos.

[soitib]

Re: Un par de límites

gracias por vuestra ayuda, me ha sido muy útil!

y una cosa, para resolver este límite:

lim ln((senx^2)/x + 1)
x->inf

podría permutar el límite con el logaritmo???
es que si no sé como hacerlo...

gracias!

[Metaleer]

Re: Un par de límites

gracias por vuestra ayuda, me ha sido muy útil!

y una cosa, para resolver este límite:

lim ln((senx^2)/x + 1)
x->inf

podría permutar el límite con el logaritmo???
es que si no sé como hacerlo...

gracias!

Sí, hay una serie de funciones que admiten eso, creo recordar que la arcotangente y las otras funciones trigonométricas inversas por ejemplo también lo permite.

Saludos.