Secundaria Integral!

[arreldepi]

Hola, me podríais decir cómo se empieza a resolver esta integral (por partes, sustitución...), es que no tengo ni idea:

$\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx$

Hace poco nos enseñaron que alguna vez tendríamos que sustituir por $sin$ o $cos$, pero en esta no sabría cómo hacerlo tampoco.

Gracias!

[Dj_jara]

Re: Integral!

Hola, me podríais decir cómo se empieza a resolver esta integral

Prueba por partes, mira que lo que te molesta para que sea inmediata es el x en el numerador, si haces partes al derivar esa x, obtienes un 1 y lo que te queda por integrar es inmediato.

Aparte hay otra forma, para mi "más elegante", suma 0 (1-1) en el numerador $\frac{x+1-1}{\sqrt{x+1}}$ y separa en dos términos $\sqrt{x+1}+\frac{-1}{\sqrt{x+1}}$

[arreldepi]

Re: Integral!

Prueba por partes, mira que lo que te molesta para que sea inmediata es el x en el numerador, si haces partes al derivar esa x, obtienes un 1 y lo que te queda por integrar es inmediato.

Aparte hay otra forma, para mi "más elegante", suma 0 (1-1) en el numerador $\frac{x+1-1}{\sqrt{x+1}}$ y separa en dos términos $\sqrt{x+1}+\frac{-1}{\sqrt{x+1}}$

Hola, gracias!

La parte elegante aún no nos la han enseñado y no sé muy bien qué es lo que haces para que te quede esa expresión .

Por otra parte, si uso integración por partes me quedaría:

$\displaystyle u = x \to du = dx$

$dv =\frac{dx} {\sqrt{x+1}}\to v=2\sqrt{x +1}$

Entonces me quedaría:

$I =2x\sqrt{x +1}-2\displaystyle\int{\sqrt{x +1}}=$

$2x\sqrt{x +1}-2\displaystyle\int({x +1})^{\frac{1}{2}}=$

$2x\sqrt{x +1}-2\cdot{\displaystyle\frac{2\sqrt{(x +1)^3}}{3}}=$

$\boxed{2x\sqrt{x +1}-{\displaystyle\frac{4\sqrt{(x +1)^3}}{3}}+k}$

Quedaría así??


Muchas gracias!

[Metaleer]

Re: Integral!

Lo que ha hecho el compañero dj_jara es lo siguiente:

$\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x+1}} = \frac{x+1-1}{\sqrt{x+1}} = \frac{x+1}{\sqrt{x+1}} - \frac{1}{\sqrt{x+1}} = (x+1)^{1 - 1/2} - \frac{1}{\sqrt{x+1}} = (x+1)^{1/2} - \frac{1}{\sqrt{x+1}} = \sqrt{x+1} - \frac{1}{\sqrt{x+1}}$

Es un toque elegante que funciona bien para integrales semejantes.

Saludos.

[Pirata de Silla]

Re: Integral!

$x+1=t^2$

$x=t^2 -1$

$t=\sqrt{x+1}$

$\mathrm{d}x=2t \mathrm{d}t$


I =$\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx$ =

=$\displaystyle\int\frac{(t^2 - 1)2t}{t}\mathrm{d}t = 2\int(t^2 - 1)\mathrm{d}t = \frac{2t^3}{3}-2t = \frac{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}{3}-2\sqrt{x+1} + C$