1r ciclo una integral

[gunbladecat]

bueno pues estoy retomando esto de las integales y me surgio un problemilla al calcular una, supongo q debe ser facil con canvio de variable por la forma que tiene pero no llego a encontrar un cambio que me solucione las cosas...

la integral es la siguiente:

$\int \frac{1}{e^x+1} \mathrm{d}x$

gracias!

[[Beto]]

Re: una integral

Hola, creo que se puede solucionar si es que se hace que $\dst u=e^x$, entonces $\dd u=e^x\dd x$; por tanto si reemplazas tendrías que:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> I=&\int\frac{1}{e^x+1}\dd x\\<br /> =&\int\frac{1}{u(u+1)}\dd u\\<br /> =&\int\frac{1}{u}\dd u-\int\frac{1}{(u+1)}\dd u<br /> \end{aligned}<br />$$

De donde seguramente te resultará más facil seguir.

[gunbladecat]

Re: una integral

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

no entendi este paso... como pudiste separar en 2 integrales, es alguna propiedad o algo?

gracias.

[polonio]

Re: una integral

Lo que hace es descomponer en fracciones simples:

$\frac{1}{u(1+u)}=\frac{a}{u}+\frac{b}{(1+u)}=\frac{a(1+u)+bu}{u(1+u)}$

por tanto:

$1=a+au+bu$

y, de aquí:

$a=1, b=-a=-1$,

quedando:

$\frac{1}{u(1+u)}=\frac{1}{u}+\frac{-1}{(1+u)}$

[gunbladecat]

Re: una integral

q gran idea, dudo q se me hubiera ocurrido a mi solo... creo q la recordare para proximas veces gracias a los 2

[[Beto]]

Re: una integral

como que acabas separando en 2 integrales? e
gracias.

Para separar en dos integrales tienes que tener en cuenta que:

$$<br /> \frac{1}{u(u+1)}=\frac{A}{u}+\frac{B}{u+1}$$

PD: Yo iba a contestar primero solo me olvide de darle click en enviar :P

[Pirata de Silla]

Re: una integral

El cambio de N30F3B0 es elegante y simple, me gusta más que el siguiente, que también es posible (no tan rápido):

$\mathrm{e}^x + 1 = t$

$\mathrm{e}^x = t - 1$

$x= \ln (t - 1)$

$\mathrm{d}x = \displaystyle\frac{1}{t - 1} \mathrm{d}t$

$\displaystyle\int\frac{1}{\mathrm{e}^x + 1} \mathrm{d}x = \displaystyle\int\frac{1}{t(t - 1)}\mathrm{d}t =$

$= \displaystyle\int\frac{1}{t}\mathrm{d}t -\int\frac{1}{t - 1}\mathrm{d}t = \ln |t| - \ln |t -1| =$

$= \displaystyle\ln |\mathrm{e}^x + 1| - \ln |\mathrm{e}^x| = \ln \left|\frac{\mathrm{e}^x + 1}{\mathrm{e}^x}\right| + C$

[Dj_jara]

Re: una integral

El cambio de N30F3B0 es elegante y simple, me gusta más que el siguiente, que también es posible (no tan rápido):

Pues voy a dar yo otro método (y que no necesita un cambio de variable

$\int \frac{1}{e^x+1} \mathrm{d}x = \int \frac{e^x+ 1 -e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x = \int 1-\frac{e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x$y lo que queda es inmediato sabiendose la regla de la cadena $\ \int 1-\frac{e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x = x +\log (e^x +1)$

[[Beto]]

Re: una integral

Pues voy a dar yo otro método (y que no necesita un cambio de variable

Veo que le hiciste caso a Metaleer de practicar tus integrales

[Pirata de Silla]

Re: una integral

Pues voy a dar yo otro método (y que no necesita un cambio de variable

$\int \frac{1}{e^x+1} \mathrm{d}x = \int \frac{e^x+ 1 -e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x = \int 1-\frac{e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x$y lo que queda es inmediato sabiendose la regla de la cadena $\ \int 1-\frac{e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x = x +\log (e^x +1)$

sí señor!

[Tesserack]

Re: una integral

Pues voy a dar yo otro método (y que no necesita un cambio de variable

$\int \frac{1}{e^x+1} \mathrm{d}x = \int \frac{e^x+ 1 -e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x = \int 1-\frac{e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x$y lo que queda es inmediato sabiendose la regla de la cadena $\ \int 1-\frac{e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x = x +\log (e^x +1)$

$\int \frac{1}{e^x+1} \mathrm{d}x = \int \frac{e^x+ 1 -e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x = \int 1-\frac{e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x$; como ustedes saben por experiencia, para utilizar los logaritmos de Briggs, debemos especificar el cambio de base 10 que tienen por defecto, por la base e; por tanto para simplificar, es mejor utilizar logaritmos naturales o hiperbólicos (logaritmos que tienen por base el número e). $\ \int 1-\frac{e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x = x +\ln (e^x +1)$. Gracias

[Dj_jara]

Re: una integral

[tex]\ como ustedes saben por experiencia, para utilizar los logaritmos de Briggs, debemos especificar el cambio de base 10 que tienen por defecto, por la base e; por tanto para simplificar, es mejor utilizar logaritmos naturales o hiperbólicos (logaritmos que tienen por base el número e). $\ \int 1-\frac{e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x = x +\ln (e^x +1)$. Gracias

http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm#Notational_conventions

[Pirata de Silla]

Re: una integral

$\int \frac{1}{e^x+1} \mathrm{d}x = \int \frac{e^x+ 1 -e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x = \int 1-\frac{e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x$; como ustedes saben por experiencia, para utilizar los logaritmos de Briggs, debemos especificar el cambio de base 10 que tienen por defecto, por la base e; por tanto para simplificar, es mejor utilizar logaritmos naturales o hiperbólicos (logaritmos que tienen por base el número e). $\ \int 1-\frac{e^x}{e^x+1} \mathrm{d}x = x +\ln (e^x +1)$. Gracias

jeje aivá! es verdad, si tiene k ser el neperiano buena observación.

[Metaleer]

Re: una integral

Hay autores que usan $\ln x$ para denotar el logaritmo natural o neperiano, y otros que usan $\log x$ para denotar lo mismo y $\log_10 x$ para el logaritmo en base diez. Lo que ocurre es que tanto en Matemáticas como en Física el logaritmo que sobresale en cuanto a uso es el logaritmo neperiano, así que por convenio digamos, en muchísimos libros de textos lo que se quiere decir con $\log x$ es $\log_e x$. En Física por ejemplo sólo se me ocurren dos apariciones del logaritmo en base 10, la escala Richter de los terremotos y la escala de decibelios.

Saludos.