1r ciclo ayuda con esta integral

[eljose]

$\int _{0}^{\infty} dx \frac{cos(ux)}{x-t}$

que es divergente cuando x=t ¿ como la calculo , ?? idem cuando esta partida or x+t en vez de por x-t gracias.

[polonio]

Re: ayuda con esta integral

Pues, en principio, como se hacen las integrales impropias de este estilo:

$\intop_{0}^{\infty}dx\frac{\cos(ux)}{x-t}=\underset{c\rightarrow t^{-}}{\lim}\intop_{0}^{c}dx\frac{\cos(ux)}{x-t}+\underset{c\rightarrow t^{+}}{\lim}\intop_{c}^{\infty}dx\frac{\cos(ux)}{x-t}$


$\intop_{0}^{\infty}dx\frac{\cos(ux)}{x+t}=\underset{c\rightarrow -t^{-}}{\lim}\intop_{0}^{c}dx\frac{\cos(ux)}{x+t}+\underset{c\rightarrow -t^{+}}{\lim}\intop_{c}^{\infty}dx\frac{\cos(ux)}{x+t}$

[Metaleer]

Re: ayuda con esta integral

Es que esas primitivas me da a mi que no son expresables en términos de funciones elementales, Polonio.

Habría que ir pensando en el teorema de los residuos de la Variable Compleja, o algún truco con alguna propiedad de transformadas integrales.

A mi se me ocurre por ejemplo, apartir de la transformada de Laplace, que se define como:

$\displaystyle \mathcal{L}[f(x)] = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-sx}f(x)dx$

En nuestro caso

$\displaystyle F(s) = \int_0^{\infty} e^{-sx}\frac{\cos(ux)}{x-t}dx$

Donde si evaluamos la transformada $F(s)$ en $s = 0$, obtenemos el resultado buscado, pero habría que ver qué propiedades de la transformada de Laplace usar y de qué manera. También habría que analizar la convergencia de la integral en función de los parámetros variables que tienes en la integral, $t$ y $u$.

Saludos.