1r ciclo integral doble

[BigMess]

Tengo esta integral

$\iint_{D}^{D} x^2 \, dx \, dy$


donde D (sobre el que hay que integrar) esta determinado por dos condiciones
0<=x<=y
$x^2+y^2<=1$

sería mejor hacerla mediante un cambio de variable o asi? y como son los límites de integración

un saludo

[carroza]

Re: integral doble

Hola.

Si lo dibujas, verás que el dominio de integración es un octante de la circunferencia de radio unidad.

Para la variable y, los límites de integración están entre x y $\sqrt{1-x^2}$. Una vez hecha esta integral, los límites para x están entre
0 y $\sqrt{1/2}$

[Jose D. Escobedo]

Re: integral doble

Que extraño, pero no he entendido los limites que esta usando carroza. A mi me da $0 \le y \le \sqrt{1-x^2}$ y $0 \le x \le 1$. Si utilizo coordenadas polares $0 \le r \le 1$ y $0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$ con lo cual me dio $\frac{\pi}{16}$ en ambos casos.

[polonio]

Re: integral doble

Para evitar el "lío" de tener límites de integración variables y donde hay dependencia entre una variable y otra, siempre que se pueda es conveniente hacer un cambio de variable (de coordenadas). Con un cambio apropiado los límites salen desacoplados.

Como hace Jose D., aquí lo ideal es usar coordenadas polares:

$x=r \cos \phi$

$y=r \sin \phi$

Así, las condiciones son:

$r^2 \le 1$ (dentro o en el borde de una circunferencia de radio unidad)

$0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$ (en el primer octante)

Ahora:

$x^2 = r^2 \cos ^2 \phi$

$dxdy=rdr d \phi$

Sólo tienes que hacer:

$\int _0 ^1 r^3 dr \int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 \phi d \phi$

[carroza]

Re: integral doble

Tengo esta integral

$\iint_{D}^{D} x^2 \, dx \, dy$


donde D (sobre el que hay que integrar) esta determinado por dos condiciones
0<=x<=y
$x^2+y^2<=1$

sería mejor hacerla mediante un cambio de variable o asi? y como son los límites de integración

un saludo

Segon el enunciado,
$0 \le x \le y$

Por tanto, y es siempre positiva y mayor que x, por lo que la integral se extiende a un octante.

Si pasais a polares, la integral va desde $\pi/4$ a $\pi/2$. Es el rango de angulos en que el seno es mayor que el coseno.

[BigMess]

Re: integral doble

Segon el enunciado,
$0 \le x \le y$

Por tanto, y es siempre positiva y mayor que x, por lo que la integral se extiende a un octante.

Si pasais a polares, la integral va desde $\pi/4$ a $\pi/2$. Es el rango de angulos en que el seno es mayor que el coseno.

Entonces, al pasar a polares, el ángulo iría desde pi/4 hasta pi/2, y r iría de 0 a 1 no?

luego la integral, al multiplicar por el determinante del jacobiano de las coordenadas polares quedaria integrar $cos^2\phi$para el ángulo y r^3 para el radio

Es asi?

[Jose D. Escobedo]

Re: integral doble

Si eso es asi. Estas en lo correcto. Cuando escribiste$0 \le x \le y$ yo lo tome como $0 \le x , \le y$ que se significaria que:$0 \le x$ y que $0 \le y$, pero en realidad es como carroza lo esta proponiendo para $y \ge$ que la funcion $y = x$ que para este caso es un plano.

Este problema pude visualizarse como el volumen encerrado por los panos $x=0$, $y=x$, $z=0$ y las superficies $z = x^2$ que tiene forma de tunel parabolico de cabeza y $x^2 +y^2 =1$ que es como la casacara envolvente del cilindro.

[BigMess]

Re: integral doble

Muchas gracias, me ha quedado claro

Por cierto, he hecho la integral y el resultado que me da es $\frac{\pi - 2}{32}$

[polonio]

Re: integral doble

Ostras, para los límites es como dice Carroza (yo también tomé, $0 \le x$, $0 \le y$, y no $0 \le x \le y$ como dice el enunciado).