1r ciclo Volumen de un cuerpo sólido

[Mayhem]

Hola, tengo otra pregunta sobre cálculo de áreas, volumenes... Tengo dudas en este problema:

"Calculad el volumen V del hiperboloide de una hoja
x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 y los planos z=0 y z=h".

La solucion es V=pi*a*b*h*(1+ h^2/3c^2).

La cuestión es que he mirado en un libro para ver como se solucionan estos problemas, y he leído que hay que hacer la integral desde un plano hasta otro (es decir, me imagino que de 0 a h) de una función S(x), que es "el área de la sección del cuerpo por un plano, perpendicular a una recta determinada, en el punto de abcisa X".

La cuestión es que esto último no lo he entendido muy bien, así que si me podéis echar un cable me vendría muy bien.

Gracias de nuevo

[Metaleer]

Re: Volumen de un cuerpo sólido

Hola.

El método que te están proponiendo es lo que se conoce como método de secciones, donde como te describen, vas haciendo secciones con planos todos perpendiculares a una recta elegida. La sección que cada uno de estos planos determinan corresponderá a un valor distinto, dependiendo del plano en cuestión que realiza la sección. Si eliges planos del tipo $z = k$, con $k$ una constante, sustituyendo en la ecuación tienes que:

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{k^2}{c^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{k^2}{c^2} \Rightarrow \frac{x^2}{a^2\left(1 + \frac{k^2}{c^2} \right)} + \frac{y^2}{b^2\left(1 + \frac{k^2}{c^2} \right)} = 1$

Es decir, al ir haciendo cortes con planos del tipo $z = k$, vas obteniendo elipses de semiejes $\displaystyle a\sqrt{1 + \frac{k^2}{c^2}}$ y $\displaystyle b\sqrt{1 + \frac{k^2}{c^2}}$. Como $z = k$, y sabes que el área de una elipse es $\pi$ por el producto de los semiejes, la función que te da el área como función de $z$ será:

$\displaystyle A(z) = \pi \cdot a\sqrt{1 + \frac{z^2}{c^2}} \cdot b\sqrt{1 + \frac{z^2}{c^2}} = \pi ab \left(1 + \frac{z^2}{c^2} \right)$

Un elemento diferencial de volumen será un diferencial de $z$, $dz$, por el área $A(z)$.

$\displaystyle dV = A(z) dz \Rightarrow V = \int_0^h \pi ab \left(1 + \frac{z^2}{c^2} \right) dz$

Integral que en efecto da lo que te dicen que da en la solución.

Saludos.