Secundaria Ayuda con la siguiente derivada

[Jcari]

El caso es que si alguien me puede ayudar a hacer esta dervida, que según la solución descrita en los apuntos, no me coincide.

Arcotangente de raiz cuadrada de x² - 1 / x² +1

Utilizo la regla de la cadena y llego a un resultado bastante largo, el caso es que el resultado es 1 / Raiz cuadara de 1 + (sen3x)²

Es decir, no se simplificar la expresión.

Muchas gracias!

PD: Siento no poder escribir bien las ecuaciones, pero es que no se como se hace

[Fastolfe]

Re: Ayuda con la siguiente derivada

Hola, te refieres:

$\displaystyle F=arctan\left(\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}\right)$

Lo que no me concuerda es como:

$\displaystyle\dfrac{dF}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1+sen^2 3x}}$

Te pido que digas si es correcta la expresión que colocaste al final, o mejor aún, escribe el enunciado del problema.

[Jcari]

Re: Ayuda con la siguiente derivada

Disculpen me he equivocado, el resultado es 1 / x * Raíz cuadrada de x⁴-1

Utilizo la regla de la cadena y llego a un resultado muy largo y no encuentro manera posible para simplificar la expresión

[Fastolfe]

Re: Ayuda con la siguiente derivada

Como decia el chavo del 8: "asi pos si".

$\displaystyle\dfrac{dF}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(arctan\left[\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}\right]\right)$

Al aplicar la regla de la cadena, tenemos:

$\displaystyle\dfrac{dF}{dx}=\frac{1}{1+\left(\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}\right)^2}\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2}$

simplificando lo anterior:

$\displaystyle\dfrac{dF}{dx}=\frac{1}{x\sqrt{x^4-1}}$

[Jcari]

Re: Ayuda con la siguiente derivada

Efectivamente, donde me pierdo es en el proceso de simplifación

[arreldepi]

Re: Ayuda con la siguiente derivada

Efectivamente, donde me pierdo es en el proceso de simplifación

$y=arctg\left({\sqrt{\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1}}}\right)$




$y'=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1}}}\cdot\displaystyle\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)2x}{(x^2+1)^2}\cdot\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1}}$

Agrupas los terminos que te quedan en la segunda fracción:

$=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1}}}\cdot\displaystyle\frac{4x}{(x^2+1)^2}\cdot\displaystyle\frac{x^2+1}{2x^2}$

Ahora simplificas el 4 con los dos doses que tienes en los denominadores; la x del numerador de la segunda fracción con una de las x del denominador de la tercera fracción; y el $(x^2+1)$ del numerador de la tercera fracción con uno de los del denominador de la segunda fracción.



$=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1}}}\cdot\displaystyle\frac{1}{x(x^2+1)}$


Introduces factores:

$=\displaystyle\frac{1}{x\sqrt{\displaystyle\frac{(x^2-1)(x^2+1)^2}{x^2+1}}}$

Ahora, simplificas y te queda lo que tú decías:

$=\displaystyle\frac{1}{x\sqrt{(x^2+1)(x^2-1)}}$

$\boxed{y'=\displaystyle\frac{1}{x\sqrt{x^4-1}}}$