2o ciclo Calculo Vectorial

[rruisan]

buenos dias! tengo la duda de como poder calcular la siguiente integral doble, cualquier sugerencia o consejor seria bueno:

I(p,r)=$\int \int \frac{dxdy}{(p^2+x^2+y^2)^p}$

Sobre el disco circular R={(x,y) $\mid$ x^2 + y^2 $\leq$ r^2}. Determinar los valores de p para los que I(p,r) tienelimite cuando r tiende a infinto.

[Metaleer]

Re: Calculo Vectorial

Hola.

En este problema, lo que debes hacer es un cambio a coordenadas polares.

$x = \rho \cos \theta$
$y = \rho \sin \theta$

Por el dominio de integración, $\rho \in [0, r]$, $\theta \in [0, 2\pi].$

$\displaystyle I(r, p) = \int_0^{2\pi}\int_0^r \frac{\rho}{(p^2 + \rho^2)^p}d \rho d\theta = 2 \pi \int_0^r \frac{\rho}{(p^2 + \rho^2)^p}d \rho$.

Hay que distinguir dos casos:

• $p \neq 1$

$\displaystyle I(r, p) = 2 \pi \int_0^r \frac{\rho}{(p^2 + \rho^2)^p}d \rho = 2 \pi \frac{1}{2} \left[\frac{(p^2 + \rho^2)^{-p+1}}{-p+1} \right]_{\rho = 0}^{\rho = r} = \pi \frac{(p^2+r^2)^{-p+1} - p^{-2p+2}}{-p+1}.$

Si intentas tomar límites, verás que el término decisivo es $(p^2+r^2)^{-p+1}$. Si haces $r \rightarrow \infty$, para que no tienda a $\infty$ este término, se debe tener que el exponente sea negativo, es decir

$\boxed{-p+1 <0 \Rightarrow p > 1}.$

• $p = 1$

$\displaystyle I(r, 1) = 2 \pi \int_0^r \frac{\rho}{(1^2 + \rho^2)^1}d \rho = \pi \left[ \ln (1 + \rho^2) \right]_0^r = \pi \ln (1 + r^2),$

que no converge si $r$ tiende a infinito.

Concluyendo, la integral converge para

$\boxed{p > 1.}$

Saludos.

[rruisan]

Re: Calculo Vectorial

la unica duda que tengo es como sacas cuanto vale p

[Metaleer]

Re: Calculo Vectorial

Se me olvidó tratar antes un caso, que es el de $p = 0.$ Para este caso, la integral te queda:

$\displaystyle I(r, 0) = \int_0^{2\pi}\int_0^r \frac{\rho}{(0^2 + \rho^2)^0}d \rho d\theta = 2 \pi \int_0^r \frac{\rho}{(0^2 + \rho^2)^0}d \rho = 2 \pi \int_0^r \frac{\rho}{(\rho^2)^0}d \rho,$

ahora bien, la discontinuidad del integrando en (evaluando el límite tendiendo a 0 por la derecha) es evitable, y en el resto del intervalo de integración el denominador es $1$, así que la integral que tienes que resolver es

$\displaystyle 2 \pi \int_0^r \rho d \rho = 2 \pi \frac{r^2}{2} = \pi r^2,$

que claramente diverge para $r$ tendiendo a infinito.

De esta manera, los valores de $p$ para los que la integral converge cuando $r \rightarrow \infty$ siguen siendo los que satisfacen la desigualdad $p>1$.

La razón de esta desigualdad es la siguiente: el término decisivo en el caso de $p \neq 1$ era $(p^2+r^2)^{-p+1}$. Cuando $r \rightarrow \infty$, está claro que $(p^2+r^2) \rightarrow \infty$. Luego nos interesa que $(p^2+r^2)$ esté en el denominador, para que el término en su totalidad tienda a . ¿Cómo se hace esto? Pues para que esté en el denominador, debe estar elevado a algo negativo, es decir, se debe tener que

$\boxed{-p+1 <0 \Rightarrow p > 1.}$

Saludos.

[rruisan]

Re: Calculo Vectorial

una ultima pregunta en los limites de integracion de casualidad r no deberia de ir de $a \leq \rho \leq r$ ya que es un disco.

[Metaleer]

Re: Calculo Vectorial

$\mathcal{R}\equiv \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 \leq r^2\}$ es todo el disco, es decir, de $\rho = 0$ a $\rho = r$. Si fuera lo que dices, el recinto sería $\mathcal{R}\equiv \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | a^2 \leq x^2 + y^2 \leq r^2\}$.

[rruisan]

Re: Calculo Vectorial

si es cierto muchas gracias! que pases buen dia!