1r ciclo Calculo de integral

[jorgext]

Hola, necesito ayuda para calcular la integral [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , donde $\mathrm{D}=\{(x,y)\in\mathrm{R}^2:x^{2/3}+y^{2/3}\leq1\}$ y $f(x,y)=(1-x^{2/3}-y^{2/3})^2$.

La verdad no se como deshacerme de el integrando que, por los exponentes en $x$ e $y$, resulta incómodo.

Saludos!

[Metaleer]

Re: Calculo de integral

Hola.

Esto es un ejemplo donde tienes que realizar un cambio a 'polares generalizadas': observa que si haces

$x = \rho \cos^3 \theta ,$
$y = \rho \sin^3 \theta ,$

los límites son muy fáciles, pues te queda que $\rho \in [0, 1]$ y $\theta \in [0, 2\pi]$, y además el integrando se convierte en

$f(\rho, \theta) = (1 - \rho^{2/3})^2.$

No se te olvide calcular el valor absoluto del jacobiano de la transformación, que en este caso se tiene que

$\displaystyle \frac{\partial(x, y)}{\partial(\rho, \theta)} = 3\rho \sin^{2}\theta \cos^{2} \theta.$

En este caso el valor absoluto del jacobiano no es necesario, ya que como puedes comprobar, $\displaystyle \frac{\partial(x, y)}{\partial(\rho, \theta)} \geq 0$. Con todo esto, la integral que te queda por resolver es

$\displaystyle \int_0^{2 \pi} \int_0^1 3\rho \sin^{2}\theta \cos^{2} \theta (1 - \rho^{2/3})^2 d\rho d\theta = 3 \int_0^{2 \pi}\sin^{2}\theta \cos^{2} \theta d\theta \int_0^1 \rho (1 - \rho^{2/3})^2 d\rho = \ldots = \frac{3\pi}{80},$

si no me he equivocado al operar.

Saludos.

[Saplaya]

Re: Calculo de integral

Hola a todos. Creo que es $f(\rho,\theta)=(1-\rho^{2/3})^2$

saludos

[jorgext]

Re: Calculo de integral

Muchísimas gracias! Me ha sido demasiado útil.

[jorgext]

Re: Calculo de integral

Muchas gracias Metaleer; usando la misma idea, del cambio de variables a coordenadas polares generalizadas, he hecho:

$x = \rho^{3/2} \cos^3 \theta ,$
$y = \rho^{3/2} \sin^3 \theta ,$

Los límites quedan $\rho \in [0, 1]$ y $\theta \in [0, 2\pi]$, pero el integrando queda más sencillo

$f(\rho, \theta) = (1 - \rho)^2.$

Y el jacobiano resulta:

$\displaystyle \frac{\partial(x, y)}{\partial(\rho, \theta)} = \frac{9}{8}\rho^2 \sin^2(2\theta)$

Y la integral queda mucho más reducida:

$\displaystyle \int_0^{2 \pi} \int_0^1 \frac{9}{8}\rho^2 \sin^2(2\theta) (1 - \rho)^2 d\rho d\theta = \frac{3\pi}{80},$

Obteniendo el mismo resultado.

Nuevamente, muchas gracias, no podría haber obtenido el resultado sin usar las coordenadas polares generalizadas.


Saludos,

Jorge.

[Metaleer]

Re: Calculo de integral

¿Seguro que el cambio que has hecho es ese, y no

$x = \rho^{3/2} \cos^3 \theta$
$y = \rho^{3/2} \sin^3 \theta$ ?

Porque si haces el cambio que dices, el integrando se te queda en $f(\rho, \theta) = (1 - \rho^{4/9})^2$, y si haces el que te digo, sí queda $f(\rho, \theta) = (1 - \rho)^2$.

[jorgext]

Re: Calculo de integral

Me equivoqué al tipear... ya corregí.

Saludos.