1r ciclo Demostrar que o[o[f(x)]]=o[f(x)], o-pequeña de Landau

[Euleriano]

Hola a todos.es mi primer mensaje, y me pasa lo siguiente:


No llego a como demostrar que $o[o[f(x)]]=o[f(x)]$ cuando x->a se que debe de ser trivial, pero a mi no me sale y aplicando la definición de o-pequeña no llego a poder deducirlo.

En un libro usa dos funciones auxiliares $g(x)=o[f(x)]$ y $h(x)=o[g(x)]$ y después hace $\lim_{x\to a} \dfrac{h(x)}{g(x)}=0$ pero con esto sólo veo que se llega a que $o[o[f(x)]]=o[g(x)]$

???

un saludo, debe de ser una chorrada pero no me sale y no comprendo la demostración, si por favor alguien pudiera ayudarme, le estaría muy agradecido.

[aLFRe]

Re: Demostrar que o[o[f(x)]]=o[f(x)], o-pequeña de Landau

Según tu definición debes probar que
$\lim_{x \to a}\frac{h(x}{f(x)}=0$
puedes usar las propiedades de las fracciones
$\frac{h(x}{f(x)}=\frac{h(x}{g(x)}\frac{g(x}{f(x)}$
y lo que te han explicado de álgebra de límites
$\lim_{x \to a}\frac{h(x}{f(x)}=\lim_{x \to a}\frac{h(x}{g(x)}\lim_{x \to a}\frac{g(x}{f(x)}$
puesto que por las definiciones
$\lim_{x \to a}\frac{h(x}{g(x)}=0$
$\lim_{x \to a}\frac{g(x}{f(x)}=0$
y los casos de indeterminación eran $0\times\infty$
pues yo diría que
$\lim_{x \to a}\frac{h(x}{f(x)}=0 \times 0 = 0$
c.q.d. tu proposición de partida.

Saludos.

[Euleriano]

Re: Demostrar que o[o[f(x)]]=o[f(x)], o-pequeña de Landau

Hola,

Muchas gracias Alfre, pero no comprendo esta implicación que supones cierta:

$\displaystyle [o[o[f(x)]] ]=o[f(x)] \Rightarrow \lim_{x\to x_0} \dfrac{h(x)}{f(x)}=0$

Con f y g definidas como antes

[alespa07]

Re: Demostrar que o[o[f(x)]]=o[f(x)], o-pequeña de Landau

Hola,

Muchas gracias Alfre, pero no comprendo esta implicación que supones cierta:

$\displaystyle [o[o[f(x)]] ]=o[f(x)] \Rightarrow \lim_{x\to x_0} \dfrac{h(x)}{f(x)}=0$

Con f y g definidas como antes

Wenas. Esta implicación se deduce de la misma definición de la o minúscula de landau ya que tendrás que h(x)= o(f(x)) y por definición h(x)=o(o(f(x))).
Saludos.