1r ciclo Flujo a través de una esfera

[BigMess]

Mi ejercicio es el siguiente:
Calcular el flujo de calor a través de la esfera unitaria S si T(x,y,z)=x .¿Puedes interpretar físicamente la respuesta?

Lo que yo he hecho es:

grad T=(1,0,0)

Parametrización de la esfera:
x=cos(a)sen(b)
y=sen(a)sen(b)
z=cos(b)
con 0<=a<=pi
0<=b<=2pi

Calculo el vector normal correspondiente a la esfera (determinante del jacobiano) y hago el producto escalar con el gradiente de la temperatura, que es un campo escalar.

La integral me queda 0. En caso de que esta sea la respuesta correcta, cuál es su interpretación física?

Un saludo

PD: no puedo editar el título verdad? me confundí al escribirlo, lo siento

[polonio]

Re: Flujo a través de una esfera

Puedes usar el teorema de la divergencia (Gauss-Ostrogradski), pues la superficie es cerrada y te queda más sencillo: la divergencia (que es el flujo por unidad de volumen y es escalar) integrada en todo el volumen es flujo total a través de la superficie que encierra todo el volumen. Además, la divergencia sale uniforme (es la unidad), así que sólo tienes que obtener el volumen.

Si usas la definición de flujo, yo te recomiendo que uses coordenadas esféricas (pues la geometría del problema es esférica) y los límites de integración salen desacoplados: cambia el gradiente a coordenadas esféricas y el vector normal a la esfera es el unitario radial:

$\oint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\oint_{S}\vec{\nabla}T\cdot (R^{2}\sin(b)db\, da \vec{u}_r)$

(toma el radio unidad y los ángulos como dices en tu mensaje).

Por cierto, te cambio el título (aunque quedaba gracioso).

[BigMess]

Re: Flujo a través de una esfera

Gracias, Polonio

No conozco el teorema de la divergencia, pero como yo lo hice tampoco quedaba dificil, solo que el resultado no me cuadraba mucho. Al ser el gradiente (1,0,0), el producto vectorial era 1* la primera componente de el vector normal de la esfera , esto me quedadba

$\int\limits_{0}^{\pi} sen^2(b) \, db<br /> \int\limits_{0}^{2\cdot \pi} cos(a) \, da<br />$

y como la primera integral es 0, el resultado es 0

Luego no hay flujo de calor a traves de la esfera... no tiene mucho sentido

[polonio]

Re: Flujo a través de una esfera

Me parece que no estás tomando bien el vector normal a la esfera (ten en cuenta que me hablas de jacobiano y éste me da el factor de escala, pero el vector normal a la esfera lleva la dirección del grradiente de la superficie esférica).

Para no liarte: $d \vec{S}= sen(b)db \, da (sen(b)cos(a) \vec{i}+ sen(b)sen(a) \vec{j}+ cos(b) \vec{k})$

Y, efectivamente, sale lo que tú dices al integrar: flujo neto nulo: tanto calor se absorbe por el hemisferio de x>0 como se cede por el hemisferio de x<0.

Por otra parte: ¿en serio no conoces el teorema de Gauss-Ostrogradski?:

$\iint _{S} \vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint _{V} \vec{\nabla}\cdot\vec{F}dV$

Como la divegencia del gradiente de T esnula, pues el gradiente es constante (uniforme): la integral en todo el volumen de cero es cero. Sale el mismo resultado.