2o ciclo Teorema de Stokes II

[rruisan]

Tengo este ejercicio que me dice: usar el teorema de stokes para demostrar que las integrales de linea tienen los valores que se dan. En cada caso, explicar el sentido en que se recorre para llegar al resultado.

1.-$\int_{C} (y^2 - z^2)dx + (z^2-x^2)dy + (x^2-y^2)dz=9\frac{a^3}{2}$ donde C es la curva interseccion de la superficie del cubo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y el plano $x+y+z=\frac{3a}{2}$

lo que estoy intentando hacer es sacar el rotacional de F pero me queda en funcion de x,y,z y el teorema de stokes es solamente para areas ahi nose como funciona esto. Cualquier consejo me podria ayudar.

2.- Lo que no se tambien es como transformar la doble integral del rot de F en una integral de linea utilizando el teorema de Stokes:

$F(x,y,z)=(y-z)i +yz j -xz k$ donde S cosnta de las cinco caras del cubo $0 \leq x \leq 2, 0\leq y \leq 2, 0\leq z \leq 2 .$no situdadas en el plano xu. n es la normal unitaria exterior

[alespa07]

Re: Teorema de Stokes

Tengo este ejercicio que me dice: usar el teorema de stokes para demostrar que las integrales de linea tienen los valores que se dan. En cada caso, explicar el sentido en que se recorre para llegar al resultado.

1.-$\int_{C} (y^2 - z^2)dx + (z^2-x^2)dy + (x^2-y^2)dz=9\frac{a^3}{2}$ donde C es la curva interseccion de la superficie del cubo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y el plano $x+y+z=\frac{3a}{2}$

lo que estoy intentando hacer es sacar el rotacional de F pero me queda en funcion de x,y,z y el teorema de stokes es solamente para areas ahi nose como funciona esto. Cualquier consejo me podria ayudar.

2.- Lo que no se tambien es como transformar la doble integral del rot de F en una integral de linea utilizando el teorema de Stokes:

$F(x,y,z)=(y-z)i +yz j -xz k$ donde S cosnta de las cinco caras del cubo $0 \leq x \leq 2, 0\leq y \leq 2, 0\leq z \leq 2 .$no situdadas en el plano xu. n es la normal unitaria exterior

Wenas. Lo que dices sobre el teorema de stokes (solo areas) no es verdad. Dicho teorema te relaciona una integral de superficie con una integral de linea con dicha linea es la que delimita la superficie abierta. El único requisito es que la superficie no sea cerrada ( sino ninguna línea la delimitaría y esto queda patente en tu segundo problema ya que si el cubo tuviera la seis tapas estaría cerrado y adiós al teorema de stokes). Además el teorema rigurosamente necesita unas condiciones muy fuertes (por ejemplo el camino ha de ser una curva de Jordan..) pero en los casos que te ocupan las superficies siempre son regulares (son superficies geometrica básicas como lo esfera, el cono...) y el teorema se puede aplicar. En general, cuando calcules el rotacional también te dependerá de las tres variables (el rotacional es un campo vectorial también).
Para el primer problema, una vez hallado el rotacional te quedará parametrizar las 4 superfices que te quedan por arriba del corte y hacer la integral de superficie del rotacional (recuerda que en estos casos el vector normal fundamental no hace falta calcularlo ya que sale a simple vista). El segundo es aún más facil ya que la linea ( el camino mejor dicho)que deberás usar es un cuadrado.
Saludos.

[rruisan]

Re: Teorema de Stokes II

para el primero me sale que el rotacional es $F=(y^2-z^2)i + (z^2-x^2)j + (x^2-y^2)$ ahora para mis limites no se si debo tomar para x,y, y z que trae ahi por que la definicion de area me dice

$\int \int_{S} (rot F).ds$

Para el segundo caso podrias explicarme un poco mas por favor, esque este tema no lo vi a grandes rasgos, por ejemplo como saco la Curva

[alespa07]

Re: Teorema de Stokes II

para el primero me sale que el rotacional es $F=(y^2-z^2)i + (z^2-x^2)j + (x^2-y^2)$ ahora para mis limites no se si debo tomar para x,y, y z que trae ahi por que la definicion de area me dice

$\int \int_{S} (rot F).ds$

Para el segundo caso podrias explicarme un poco mas por favor, esque este tema no lo vi a grandes rasgos, por ejemplo como saco la Curva

Me paece que te equivocas calculando el rotacional. Supongo que sabes que

$\vec{rot}F= \vec{\nabla} \times \vec F=\left| \begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ F_x & F_y & F_z \end{array}\right|$

Y en tu caso me da:

$\vec{rot}F=-2(y+z,x+z,x+y)$

Comprueba los cálculos porque lo he hecho deprisa. Ahora sólo te queda parametrizar tu superficie (que a vecas es lo ás complicado pero piensalo un poco sino te ayudaré...).

Para el segundo problema el camino que tienes que considerar es aquel que delimita la superficie, es decir que tu superficie es abierta y tiene una frontera que es precisamente el camino que buscas.
Saludos.

[alespa07]

Re: Teorema de Stokes II

Mira, aquí te dejo un enlace con bastantes problemas resueltos que, a mí, me fueron muy bien cuando cursé la aignatura:
http://personales.upv.es/aperis/doce...superficie.pdf
Espero que te sirva.
Saludos.

[rruisan]

Re: Teorema de Stokes II

Si perdon me equivoque no puse el rot F sino puse lo de la integral el rot F me sale$-2[(y+z)i + (x+z)j + (x+y)k]$ puedo tomar esta parametrizacion $x=r\cos t , y=r\cos t , z=z$ pero creo que con eso ya no estaria tomando una superficie! Yo pensaba que teniendo el rotacional ya no era necesario parametrizar solo tendria sustituir en la integral del teorema de stokes y utilizar los limites de integraicion que me dan! pero como tambien tengo a z no sabria que hacer!

Lo del cuadrdo creo que si debe de estar falta mi problema es encotrar la curva!

[alespa07]

Re: Teorema de Stokes II

Esta noche no puedo ayudarte, piensalo esta noche y mañana dime lo que has conseguido. Te echaré un cable si lo necesitas.

[rruisan]

Re: Teorema de Stokes II

Lo seguiere intentando! muy amable!

[alespa07]

Re: Teorema de Stokes II

Has conseguido algo? El primer problema es un poco largo si escoges la superficie por arriba del corte, por lo que es mejor coger la que te queda por debajo. Normalmente( si lo he hecho bien ) encuentras el mismo valor que te da el enunciado pero negativo ( esto te contestará a la pregunta del sentido que tienes que escoger para que te salga positivo). El segundo problema es bastante más corto. Cualquier duda que tengas pregunta!
Saludos.