1r ciclo Un par de límites

Estoy atascada resolviendo estos límites, a ver si me dáis alguna idea para sacar el resultado:

lim {[1/ln(1+x)]-x]
x->0


lim [ln(cos(3x))]/[ln(cos(2x))]
x->0


Gracias de antemano!

[ofiuco]

Re: Un par de límites

Para el primero:
$\lim_{x\rightarrow 0} \left( \dfrac{1}{\ln(1+x)}-x\right)=\lim_{x\rightarrow 0} \left( \dfrac{1}{\ln(1+x)}\right)=\dfrac{1}{0}=\infty$

Para el segundo:
Utilizando L'Hospital:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\ln \cos (3x)}{\ln \cos (2x)}=\dfrac{0}{0}=<br /> \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{-3\sin 3x}{\cos 3x}}{\dfrac{-2\sin 2x}{\cos 2x}}=<br /> \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{-3\cdot 3x}{\cos 3x}}{\dfrac{-2\cdot 2x}{\cos 2x}}=<br /> \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{-9x\cos 2x}{-4x \cos 3x}=\dfrac{9}{4}$

También se puede llegar al mismo resultado utilizando las equivalencias de infinitésimos siguientes:
$\cos(x)\sim 1-\dfrac{x^2}{2}$
$\ln(1-x)\sim -x$

[arreldepi]

Re: Un par de límites

Para el primero:
$\lim_{x\rightarrow 0} \left( \dfrac{1}{\ln(1+x)}-x\right)=\lim_{x\rightarrow 0} \left( \dfrac{1}{\ln(1+x)}\right)=\dfrac{1}{0}=\infty$

Una duda, en el caso de el primero, por qué es infinito positivo y no positivo y negativo, es que por criterio siempre se considera ése o, sólo miramos el límite por la derecha. Es que, si dibujo la gráfica, cuando la función tiende a cero se acerca por la izquierda a $-\infty$ y por la derecha a$+\infty$.



Gracias y un saludo!

[ofiuco]

Re: Un par de límites

En realidad debería de haber puesto $\pm\infty$. Para averiguar si se trata de uno y otro hay que calcular los límites laterales:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}\left(\dfrac{1}{\ln(1+x)}+x\right)=\lim_{x\rightarrow 0^-}\left(\dfrac{1}{\ln(1+x)}\right)=\dfrac{1}{\ln(1+0^-)}=\dfrac{1}{0^-}=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\left(\dfrac{1}{\ln(1+x)}+x\right)=\dfrac{1}{\ln(1+0^+)}=\dfrac{1}{0^+}=+\infty$

Utilizo el hecho de que el logaritmo es monótona creciente. También se pueden tomar valores (-0.01 y +0.01) para estudiar el signo.

[Metaleer]

Re: Un par de límites

Hay muchos convenios con los límites que tienden a infinito. Algunos autores dicen que no existen, otros autores dotan de signo distinto a los límites laterales, y otros dicen que si el valor absoluto de la función tiende a $+ \infty$ por ambos lados, el límite es $\infty$ sin signo, que es el convenio que ha usado ofiuco.

[soitib]

Re: Un par de límites

Y si en vez de

lim {[1/ln(1+x)]-x]
x->0

¿la x estuviese en el denominador?

lim {[1/ln(1+x)]-1/x]
x->0

[ofiuco]

Re: Un par de límites

Te indico:
- Opera las fracciones y pasarás de la indeterminación $\infty -\infty$ a $\dfrac{0}{0}$.
- Aplicas L'Hopital, operas y simplifica. Vuelves a $\dfrac{0}{0}$
- De nuevo aplicas L'Hopital, operas, simplificas..... y da $\dfrac{1}{2}$

Si necesitas más ayuda me lo indicas.

Nota: ya me extraño esa 'x' suelta, suponía que sería más complicado.