1r ciclo Integral de Poisson mediante teorema de los residuos

[bertolet]

Buenas, quiero calcular esta integral de Poisson usando el teorema de los Residuos pero no sé llegar a la solución:

$\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{d}\theta} {(3+2\cos \theta)^2}$

Lo primero sería el cambio de variable $z = \mathrm {e}^{i \theta}$, $\mathrm {d}\theta = -i \frac{\mathrm {d}z} {z}$, $\cos \theta = \frac{1} {2} (z+\frac{1} {z})$, con lo que la integral se convierte en una de camino cerrado a través de la circunferencia $|z|=1$ y nos queda:

$-i \int_{|z|=1} \frac{\mathrm{d}z}{z(9+6(z+\frac{1} {z})+ (z^2+2+\frac{1} {z^2}))} = -i \int_{|z|=1} \frac{\mathrm{d}z}{z^3+6z^2+11z+6+\frac{1} {z}} = -i \int_{|z|=1} \frac{z\mathrm{d}z}{z^4+6z^3+11z^2+6z+1}$

Ahora debemos hallar los nodos del integrando, es decir, los ceros de la función ${z^4+6z^3+11z^2+6z+1}$, para lo cual no sé qué metodo se puede utilizar.

Luego utilizaríamos el teorema de los residuos hallando los residuos de los nodos que se incluyan en la circunferencia de radio 1, pero no sé como hallar esos nodos. Además, es una función excesivamente extraña para un ejercicio de examen, por lo que supongo que estoy cometiendo un error o no me he percatado de algo.

Gracias por la ayuda de antemano.

[carroza]

Re: Integral de Poisson mediante teorema de los residuos

Hola.

Recuerda que en el denominador tienes $(3+z+1/z)^2$. Los polos, dobles, son las soluciones de $z^2 + 3 z + 1 =0$.

[jorgext]

Re: Integral de Poisson mediante teorema de los residuos

Exacto, hay polos dobles en el denominador, no es necesario expandir. De ahí solo aplicar la definición.