Secundaria Un ayuda por favor!!

[eduardo2384]

Hola amigos. Quisiera q por favor me ayudasen con un par de problemillas de sumatorias. Estare agradecido.

Dicen así


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1)

hallar x:

$96+117+140+165+192+...+x=69725$

2) hallar $a\over b$ si es irreducible:

${a\over b}={1\over7}+{4\over7^2}+{9\over7^3}+{16\over7^4}+{\ldots}$

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Espero que puedan ayudarme, muchas gracias.

[Dj_jara]

Re: Un ayuda por favor!!

en la primera lo que tienes es que cada vez se suma 19 +2n a cada número (respecto el anterior) con lo que si expresas el sumatorio obtienes

$$\sum_{n=0}^N (96+(19n+n(n+1))) = 69725$$

lo que tienes que hacer es hallar N y una vez lo tengas obtienes x, en lo que no deberías tener demasiado problema.

En la segunda

$$\frac{a}{b} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{7^n}$$

Si tienes en cuenta el desarrollo de taylor de 1/(1-x)

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$$

se ve facilmente que si hubiera un factor n^2 se pareceria mucho a lo que tu quieres (lo cual se puede obtener derivando respecto x y multiplicando x 2 veces, obteniendo

$$\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}=\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n$$

ahora si haces x = 1/7 obtienes la serie que querias (el resultado es valido porque 1/7 < 1 (radio de convergencia de la serie, ya que 1/(1-x) tiene una singularidad en x = 1 para > 1 habría que hacerlo por Laurent pero en este caso no hace falta)

[Jose D. Escobedo]

Re: Un ayuda por favor!!

Dj_jara, creo que en segundo es $\displaystyle \frac{a}{b} = \lim_{x \to \frac{1}{7}} \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} = \frac {7}{27}$

[Dj_jara]

Re: Un ayuda por favor!!

Dj_jara, creo que en segundo es $\displaystyle \frac{a}{b} = \lim_{x \to \frac{1}{7}} \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} = \frac {7}{27}$

Sí, ha habido un error al pasarlo (bueno varios) y aparte no lo habia agrupado bien una cosa