Otras carreras ayuda!

[ness]

Hola de nuevo.

Verán, necesito ayuda con este ejercicio, que me he puesto a hacer para ver si me acordaba de algo de lo que di el año pasado, y parece que ya se me ha olvidado todo y me gustaría que alguien me lo recordara.

¿Cómo se resuelve esto?

[Metaleer]

Re: ayuda!

Hola.

No es posible usar la ley de Barrow en este caso para la integral, porque no es expresable en términos de funciones elementales.

Un posible camino es con transformadas de Laplace.

La transformada de Laplace recuerda que se define como

$\mathcal{L}[f(t)] = F(s) = \displaystyle \int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt$

En nuestro ejemplo, por tanto:

$s = -3,$
$\displaystyle f(t) = \int_0^t \frac{\cos(3x) - \cos(2x)}{x}.$

Tienes que usar entonces propiedades de la transformada de Laplace para calcular la transformada de $f(t)$. Hay una propiedad de esta transformada que dice

$\displaystyle \mathcal{L}\left[\int_0^t g(x)dx \right] = \frac{G(s)}{s},$

donde $G(s) = \mathcal{L}[g(t)]$. En este caso

$\displaystyle g(t) = \frac{\cos(3t) - \cos(2t)}{t},$

pero ahora bien, la transformada de Laplace de $g(t) = \displaystyle \frac{i(t)}{t}$ es

$\displaystyle \mathcal{L}\left[\frac{i(t)}{t}\right] = \int_s^{\infty}I(\alpha)d \alpha,$

si el límite cuando $t$ tiende a por la derecha existe y es finito, y donde $I(\alpha) = \mathcal{L}[i(t)](\alpha)$. En este caso, $i(t) = \cos(3t) - \cos(2t)$.

$\displaystyle I(\alpha) = \mathcal{L}[i(t)](\alpha) = \mathcal{L}[\cos(3t) - \cos(2t)](\alpha) = \frac{\alpha}{\alpha^2 + 9} - \frac{\alpha}{\alpha^2 + 4}.$

Integrando esto entre $s$ e $\infty$, se obtiene:

$\displaystyle G(s) = \mathcal{L}[g(t)] = \frac{1}{2} \log \left(\frac{s^2+4}{s^2+9}\right),$

y así

$\displaystyle F(s) = \frac{G(s)}{s} = \frac{1}{2s} \log \left(\frac{s^2+4}{s^2+9}\right).$

Haciendo $s = -3$ deberías obtener el resultado. A mi esto me sale

$\displaystyle \boxed{\frac{1}{6}\log \left(\frac{18}{13}\right).}$

Saludos.