1r ciclo Integral interesante

[Metaleer]

Hola.

Propongo la evaluación de la siguiente integral

$\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{x^3}{e^x - 1}dx.$

Os digo desde ya que no se puede integrar el integrando en términos elementales, así que eso no parece ser el camino. Yo sólo conozco un método rebuscado para llegar a la solución, que es bastante atractiva, ciertamente.

Saludos.

[Dj_jara]

Re: Integral interesante

$$\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{x^m}{e^x - 1}dx = \int_0^{\infty}\frac{x^me^{-x}}{1 - e^{-x}}dx = \int_0^{\infty}x^me^{-x}\sum_{n = 0} ^\infty e^{-n x}dx = \int_0^{\infty}x^m\sum_{n = 0} ^\infty e^{-(n+1) x}dx$$

$= \sum_{n = 0} ^\infty\int_0^{\infty}x^m\ e^{-(n+1) x}dx=\textrm{\{u = (n+1) x\}}$$= \sum_{n = 0} ^\infty \frac{1}{(n+1)^{m+1}}\int_0^{\infty}u^m\ e^{-u}du = \zeta(m+1)\Gamma(m+1)$

m= 3

$$\zeta(4)\Gamma(4) = \frac{\pi^4}{90} 3! = \frac{\pi^4}{15}$$

[jorgext]

Re: Integral interesante

Bonita integral.

[Metaleer]

Re: Integral interesante

$$\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{x^m}{e^x - 1}dx = \int_0^{\infty}\frac{x^me^{-x}}{1 - e^{-x}}dx = \int_0^{\infty}x^me^{-x}\sum_{n = 0} ^\infty e^{-n x}dx = \int_0^{\infty}x^m\sum_{n = 0} ^\infty e^{-(n+1) x}dx = \sum_{n = 0} ^\infty\int_0^{\infty}x^m\ e^{-(n+1) x}dx=\textrm{\{u = (n+1) x\}} = \sum_{n = 0} ^\infty \frac{1}{(n+1)^{m+1}}\int_0^{\infty}u^m\ e^{-u}du = \zeta(m+1)\Gamma(m+1)$$

m= 3

$$\zeta(4)\Gamma(4) = \frac{\pi^4}{90} 3! = \frac{\pi^4}{15}$$

Bonita resolución. Yo tenía algo muy parecido, pero no era necesario saber que la serie infinita era la $\zeta$ de Riemann. Se puede evaluar de la siguiente manera:

$\displaystyle \sum_{n = 0} ^\infty \frac{1}{(n+1)^{m+1}} = \displaystyle \sum_{n = 1} ^\infty \frac{1}{n^{m+1}} = \{m = 3\} = \displaystyle \sum_{n = 1} ^\infty \frac{1}{n^{4}}.$

Si tenemos $f(x) = x^4$, definida en $[-\pi, \pi]$ con extensión periódica a todos los reales, podemos obtener la serie de Fourier:

$\displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x^4 dx = \frac{\pi^4}{5},$


$\displaystyle a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x^4 \cos(nx)dx = -(-1)^n\frac{48}{n^4}-(-1)^n\frac{8\pi^2}{n^2},$

donde los términos $b_n = 0$ ya que la función es par. De esta manera, se ha obtenido:

$\displaystyle x^4 = \frac{\pi^4}{5} - 48 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^4}\cos(nx) + 8 \pi^2 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx).$

Si hacemos $x=\pi$, obtenemos la igualdad

$\displaystyle \pi^4 = \frac{\pi^4}{5} + 8 \pi^2 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} - 48 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}.$

Ahora bien, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ se puede obtener evaluando la serie de Fourier de $x^2$, con las mismas restricciones periódicas que antes, en $x=\pi$, de donde resulta $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. Es decir:

$\displaystyle \pi^4 = \frac{\pi^4}{5} + 8 \pi^2 \frac{\pi^2}{6} - 48 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4},$

de donde se puede despejar $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}$.

Saludos.