Primaria ¿Razon de cambio o Optimización?

[Xiomy]

[FONT=Garamond]Un auto corre a 84 kilómetros por hora hacia el este mientras otro auto pasa a un punto que es exactamente 28 kilómetros al este del primer auto. Si el segundo auto está corriendo a 56 kilómetros por horas hacia el norte, determina cuando la distancia entre los carros es menor y cual es esa distancia.

En la imagen que añadí, sale el problema de nuevo y lo que yo tengo hecho hasta ahora del problema.

Desde ya les digo que gracias por su aportación.[/FONT]

[polonio]

Re: ¿Razon de cambio o Optimización?

Te has liado un poco a la hora de derivar.

Buscamos, efectivamente un mínimo para $z$, que es lo mismo que buscar un mínimo para $z^2$, en función de $t$:

Derivando $z^2$ respecto a $t$:

$2z\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}$

Como tiene que ser un mínimo:

$\frac{dz}{dt}|_{t_0}=0$

Luego:

$x\frac{dx}{dt}|_{t_0}+y\frac{dy}{dt}|_{t_0}=0\,\,\,(1)$

Por otra parte, al ser los movimientos rectilíneos uniformes:

$x=x_0 + \frac{dx}{dt}t$

$y=y_0 + \frac{dy}{dt}t$

Puedes tomar $x_0=-28\,km$ e $y_0=0\,km$

Como te dan $\frac{dx}{dt}=84 \,\frac{km}{h}$ y $\frac{dy}{dt}=56 \,\frac{km}{h}$, sólo tienes que sustituir en (1) y obtienes:

$t_0=\frac{28 \frac{dx}{dt}}{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\approx 0.23\, h$

Para este tiempo, $z\approx 15.53\,km$

(si no me equivoco en los cálculos, claro).

[Xiomy]

Re: ¿Razon de cambio o Optimización?

Muchas gracias por tu aportacion, pero no entendí de donde salio la ecuacion de t0 y como calculaste que x=x0+dx/dt y y=x0+dy/dt. Tampoco entendí pq x0 es negativo.

Yo no soy muy buena en esto y tmbn estoy empezando, si pudieras explicarlo de una manera mas elemental te lo agradecería más. Gracias.

[[Beto]]

Re: ¿Razon de cambio o Optimización?

Muchas gracias por tu aportacion, pero no entendí de donde salio la ecuacion de t0 y como calculaste que x=x0+dx/dt y y=x0+dy/dt. Tampoco entendí pq x0 es negativo.

Hola Xiomy, en esas formulas que mencionas te falto colocar el tiempo multiplicando al ultimo término de cada una de ellas, recuerda que $\frac{\dd x}{\dd t}=v$, las ecuaciones que te anotó polonio son las que ya conoces de movimiento rectilíneo uniforme:

$$x=x_o+vt$$

Y el $x_o$ es negativo debido a que se considera que la dirección este del sistema coordenado corresponde a la parte negativa.