1r ciclo Trabajo y energia

[homermax8]

EDITADO(fallo en el enunciado trayectoria, es x^2+y^2=a^2)
Hola buenas tardes a todos, soy nuevo en este foro y estudiante de ingeniería industrial de primer curso y me hallo en la desdicha de estudiar en madrid y ser fuera de madrid. y el tema es que me estoy empezando a preparar física para septiembre y he llegado a un problema que no soy capaz de resolver y no encuentro a nadie de mi entorno capaz de ayudarme por eso acudo al foro, les cuento, el problema dice así(copio textualmente):

Determinar el trabajo realizado por una fuerza

F(x,y,z)=(3y+z^2)i +(3x+z)j +(2xz +y)k (N)

entre los puntos de coordenadas (a,0,0) y (a,0,b) (m) al circular sobre la curva de ecuaciones en coordenadas cartesianas:
x^2+y^2=a^2; z=(b/2pi)*arctan(y/x)

Lo primero que hago es ver si la fuerza es conservativa. Tenemos dos caminos para verlo(cada una es condicion suficiente), viendo las derivadas parciales cruzadas son iguales y viendo si el rotacional vale 0.

Mientras lo hago veo que las derivadas parciales cruzadas son iguales pero el rotacional(siendo el producto vectorial entre el gradiente de la fuerza y la misma fuerza f) no me sale 0, por lo que ahí cometo un error que yo no veo...

Y sabiendo que la fuerza es conservativa sería facil calcular el trabajo realizado, pues ese trabajo no depende de la trayectoria.

Habiendo resuelto el problema me surgen otras muchas dudas propias de mi Hignorancia:
1) ¿Cómo podria calcular el trabajo realizado por una fuerza no conservativa a lo largo de una trayectoria? Sé que deberia ser usando la formula del trabajo W=(integral)F*dr, ¿pero como debo sustituir la trayectoria en la ecuación?¿Deberia dejarlo en tres integrales independientes, una por cada eje?¿si es así como cambio los límites de integración asi como la diferencial(pasar dr a dx,dy,dz)?
2) Agradecería que me aclaraseis el termino del rotacional(rot) de una fuerza F

Muchas gracias de antemano.

PS: Pido perdon si he colgado el post en un sitio donode no es, así me gustaria tambien que me digais si he cometido algun error de concepto grave

[Jose D. Escobedo]

Re: Trabajo y energia

(rot) tambien es cero con lo cual el trabajo seria $W= ab^2$

De esto:

Hola buenas tardes a todos, soy nuevo en este foro y estudiante de ingeniería industrial de primer curso y me hallo en la desdicha de estudiar en madrid y ser fuera de madrid. y el tema es que me estoy empezando a preparar física para septiembre y he llegado a un problema que no soy capaz de resolver y no encuentro a nadie de mi entorno capaz de ayudarme por eso acudo al foro, les cuento, el problema dice así(copio textualmente):

Determinar el trabajo realizado por una fuerza

F(x,y,z)=(3y+z^2)i +(3x+z)j +(2xz +y)k (N)

entre los puntos de coordenadas (a,0,0) y (a,0,b) (m) al circular sobre la curva de ecuaciones en coordenadas cartesianas:
x^2+y^2=1; z=(b/2pi)*arctan(y/x)

es imposible deducir el trabajo (por la trajectoria que buscas) porque estos dos puntos $(a,0,0)$ y $(a,0,b)$ no pasan por las ecuaciones: $x^2 +y^2 =1$ ; $z =\frac{b}{2 \pi} acrtan \frac{y}{x}$

[JiraiyA]

Re: Trabajo y energia

Hola

1.El rotacional si es cero .

El operador $\vec \nabla$ no es el gradiente de F , el gradiente es
$\vec \nabla F$

el $rot(F)= \vec \nabla X \vec F$

donde $\vec \nabla=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\hat i+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\hat j+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\hat k$

2.si a=1 v a=-1 entonces esos puntos pertenecen a la curva



3.El trabajo realizado por un campo no conservativo lo puedes obtener de la siguiente integral de linea

$\int_C^{} \vec F. \mathrm{d}\vec r =W$

que lo puedes llevar a la forma basica,

sea $C : r(t)=(x(t),y(t),z(t))<br />$

$\int_c^d \vec F(r(t)).(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r)\mathrm{d}t<br />$

donde t va de c a d

[Marce_]

Re: Trabajo y energia

Hola buenas tardes a todos, soy nuevo en este foro y estudiante de ingeniería industrial de primer curso y me hallo en la desdicha de estudiar en madrid y ser fuera de madrid. y el tema es que me estoy empezando a preparar física para septiembre y he llegado a un problema que no soy capaz de resolver y no encuentro a nadie de mi entorno capaz de ayudarme por eso acudo al foro, les cuento, el problema dice así(copio textualmente):

Determinar el trabajo realizado por una fuerza

F(x,y,z)=(3y+z^2)i +(3x+z)j +(2xz +y)k (N)

entre los puntos de coordenadas (a,0,0) y (a,0,b) (m) al circular sobre la curva de ecuaciones en coordenadas cartesianas:
x^2+y^2=1; z=(b/2pi)*arctan(y/x)

Lo primero que hago es ver si la fuerza es conservativa. Tenemos dos caminos para verlo(cada una es condicion suficiente), viendo las derivadas parciales cruzadas son iguales y viendo si el rotacional vale 0.

Mientras lo hago veo que las derivadas parciales cruzadas son iguales pero el rotacional(siendo el producto vectorial entre el gradiente de la fuerza y la misma fuerza f) no me sale 0, por lo que ahí cometo un error que yo no veo...

Y sabiendo que la fuerza es conservativa sería facil calcular el trabajo realizado, pues ese trabajo no depende de la trayectoria.

Habiendo resuelto el problema me surgen otras muchas dudas propias de mi Hignorancia:
1) ¿Cómo podria calcular el trabajo realizado por una fuerza no conservativa a lo largo de una trayectoria? Sé que deberia ser usando la formula del trabajo W=(integral)F*dr, ¿pero como debo sustituir la trayectoria en la ecuación?¿Deberia dejarlo en tres integrales independientes, una por cada eje?¿si es así como cambio los límites de integración asi como la diferencial(pasar dr a dx,dy,dz)?
2) Agradecería que me aclaraseis el termino del rotacional(rot) de una fuerza F

Muchas gracias de antemano.

PS: Pido perdon si he colgado el post en un sitio donode no es, así me gustaria tambien que me digais si he cometido algun error de concepto grave

1) En realidad los dos métodos que describis son análogos, ya que el primer método que mencionas surge de exigirle al vector rotacional de $\vec{F}$ que sea nulo. Éstos métodos no son condiciones suficientes, son condiciones necesarias, pero como el campo en cuestión es $C^1$ para todo $\vec{x}$ perteneciente a $\mathbb{R}^3$, las condiciones se tornan necesarias y suficientes para que $\vec{F}$ sea un campo de gradientes.

$\nabla x\vec{F}=\left|\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial y}\\P & Q & R \end{matrix}\right| = [(R'_y - Q'_z) , (P'_z - R'_x) , (Q'_x - P'_y)]$

Un "segundo" método puede ser el verificar que la matriz de derivadas del campo sea simétrica, pero de nuevo, la simetría de la matriz de derivadas se cumple si y solo si $rot\vec{F}=\vec{0}$. Queda en vos decidir que método te es más fácil o más familiar. A mi particularmente cuando se trabaja en $\mathbb{R}^3$, para ver ver si el campo es conservativo, pienso unicamente en el rotor.

En este caso, como ya te lo ha dicho Jose, el campo es irrotacional, por ende, como bien decís, el trabajo no depende de la trayectoria.

2)Analicémos el ejercicio en cuestión:

Como los puntos no pertenecen a la gráfica que escribiste (seguro que esta bien escrita?), inventemos una grafica que sirva:

$x^2 + y^2= a^2 ; z=\frac{b}{2\pi}arctan\frac{y}{x}$ entre los puntos $(a,0,0) y (a,0,b)$

Ahora parametrizamos en coordenadas polares:

$x=a\cos{\theta}$

$y=a\sin{\theta}$

$z=\frac{b}{2\pi}\theta$

A esta parametrización la llamo $\alpha (\theta)$ con $0<=\theta<=2\pi$ (te invito a comprobar que efectivamente este intervalo y el sentido de la parámetrización corresponde con lo pedido). Luego calculamos $\alpha '(\theta)$. Por último, el trabajo del campo será:

$\int_0^{2\pi}\vec{F}[\alpha (\theta)]\vec{\alpha '(\theta)} \mathrm{d}\theta = LARGO!$

Una vez que resuelvas la integral, intentá comprobar que efectivamente el trabajo es el mismo sobre cualquier trayectoria, ya que es irrotacional. Para ésto podés parametrizar una recta que una ambos puntos, siempre verificando que el sentido de orientación sea el correcto (si elegís mal la orientación, te va a dar con signo contrario).

Te mando un abrazo y espero que te haya servido.-

[Metaleer]

Re: Trabajo y energia

...
Lo primero que hago es ver si la fuerza es conservativa. Tenemos dos caminos para verlo(cada una es condicion suficiente), viendo las derivadas parciales cruzadas son iguales y viendo si el rotacional vale 0.
...

Esto no es verdad, es condición necesaria pero no suficiente, como bien ha mencionado el compañero Marce_. Considera por ejemplo el siguiente campo vectorial

$\displaystyle \mathbf{F}(x, y) = -\frac{y}{x^2+y^2}\mathbf{\hat{i}} + \frac{x}{x^2+y^2}\mathbf{\hat{j}}.$

Se cumple que

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right),$

pero te invito a que calcules la integral de línea a lo largo de circunferencias centradas en el origen; no sale 0. Esto quiere decir que el campo en cuestión no es conservativo, pero aún así las derivadas parciales cruzadas son iguales. ¿Qué es lo que ocurre? Siempre hay que prestar atención al campo en cuestión: su dominio de definición no es simplemente conexo, ya que queda excluido el origen de coordenadas.

...
El operador $\vec \nabla$ no es el gradiente de F , el gradiente es
$\nabla \vec F$
...

El gradiente se calcula de campos escalares, no de campos vectoriales.

...

$\nabla x\vec{F}=\left|\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial y}\\P & Q & R \end{matrix}\right| = [(R'_y - Q'_z) , (P'_z - R'_x) , (Q'_x - P'_y)]$

...

Aquí debe ser

$\displaystyle \nabla \times \vec{F}=\underbrace{\left|\begin{matrix}\mathbf{\hat{i}} & \mathbf{\hat{j}} & \mathbf{\hat{k}} \\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\\P & Q & R \end{matrix}\right|}_\text{mnemotecnia~para~acordarse} = [(R'_y - Q'_z) , (P'_z - R'_x) , (Q'_x - P'_y)].$

Saludos.

[homermax8]

Re: Trabajo y energia

En primer lugar gracias a todos, por la rapidez en responderme, todas las respuestas me han sido de gran ayuda.
Y sí, el enunciado lo puse mal, ruego que me perdoneis, pero veo que os disteis cuenta, ya esta editado.
Metaleer gracias, me ha gustado ese ejemplo de campo

[Marce_]

Re: Trabajo y energia

Quería agregar una pequeña cosa más unicamente. El campo que expuso el compañero Metaleer es un muy buen ejemplo, y efectivamente dicho campo no es conservativo en una circunferencia centrada en el origen. Pero tranquilamente puede ser conservativo en un dominio simplemente conexo, como por ejemplo, una circunferencia trasladada que "evite" el problema que tiene el campo en el origen (si querés podés calcular el ejemplo que te dió también sobre la curva $\displaystyle (x-2)^2 + y^2=1$ y verificar que efectivamente es cero). Con esto voy a que, si un campo cumple la condicion necesaria para ser conservativo, que efectivamente termine siendo un campo conservativo depende del dominio en donde estés trabajando. Puede serlo en algunos casos, y no serlo en otros.

Para el caso de la circunferencia en el origen, donde se está trabajando en un dominio conexo, hay un artilugio mátematico para "evadir" el problema y este campo suele presentarse justamente para poder estudiar dicho método, del cual no viene al caso hablar pero si necesitás un poco más de información, acá estamos .

Un abrazo y me alegro que te haya sido de utilidad.

[Metaleer]

Re: Trabajo y energia

Quería agregar una pequeña cosa más unicamente. El campo que expuso el compañero Metaleer es un muy buen ejemplo, y efectivamente dicho campo no es conservativo en una circunferencia centrada en el origen. Pero tranquilamente puede ser conservativo en un dominio simplemente conexo, como por ejemplo, una circunferencia trasladada que "evite" el problema que tiene el campo en el origen (si querés podés calcular el ejemplo que te dió también sobre la curva $\displaystyle (x-2)^2 + y^2=1$ y verificar que efectivamente es cero). Con esto voy a que, si un campo cumple la condicion necesaria para ser conservativo, que efectivamente termine siendo un campo conservativo depende del dominio en donde estés trabajando. Puede serlo en algunos casos, y no serlo en otros.

Para el caso de la circunferencia en el origen, donde se está trabajando en un dominio conexo, hay un artilugio mátematico para "evadir" el problema y este campo suele presentarse justamente para poder estudiar dicho método, del cual no viene al caso hablar pero si necesitás un poco más de información, acá estamos .

Un abrazo y me alegro que te haya sido de utilidad.

No sólo eso, sino hay campos vectoriales cuyo dominio de definición no es simplemente conexo y aún cuando calculas integrales de línea a lo largo de caminos que rodeen a la singularidad, sale 0; es decir, son conservativos. Un ejemplo puede ser

$\displaystyle \mathbf{F}(x, y) = \frac{x}{x^2+y^2}\mathbf{\hat{i}} + \frac{y}{x^2+y^2}\mathbf{\hat{j}},$

y es más, una (de infinitas) función potencial escalar viene a ser $\displaystyle U(x, y) = \frac{1}{2}\log(x^2+y^2)$.

Saludos.