Divulgación volumen esfera en coo. esfericas

[cuco]

alguien puede explicarme porque un elemento diferencial de volumen de una esfera en coordenadas esfericas es igual a

dv=r^2sen a*da*db*dr

donde a y b son angulos y r el radio


lo que necesito es necesito es ver como esta expresion representa un elemento del volumen de la esfera pues no soy capaz de verlo no se si me explico bien espero que me entendais

[Metaleer]

Re: volumen esfera en coo. esfericas

Hola.

De forma analítica, puedes apoyarte en el Teorema del Cambio de Variable para obtener el elemento diferencial de volumen. Es decir, la integral que tendrías que resolver, en coordenadas cartesianas sería

$\displaystyle \iiint_{\mathcal{S}} dxdydz,~\mathcal{S} \equiv \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2 \}$

Ahora bien, la relación entre coordenadas cartesianas y coordenadas esféricas es

$x = r \sin a \cos b,$
$y = r \sin a \sin b,$
$z = r \cos a,$

y si a esto le calculas el valor absoluto del determinante jacobiano, tendrías que obtener $r^2 \sin a$, que es lo que multiplica a las variables diferenciales de coordenadas esféricas (factor de escala) que hace falta para obtener el elemento diferencial de volumen.

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Saludos.