1r ciclo Limites de la integral

[woodyalex]

Hola tengo una pequeña duda, tengo que integrar x²+y² sobre un triangulo que tiene sus vertices en (a,0,0),(0,a,0),(0,0,a) es decir hacer la integral de: (x²+y²)dxdydz, pero aun estoy pillando lo de los limites de las integrales y quisiera saber cuales serian los correctos en este caso.Muchas gracias

[Metaleer]

Re: Limites de la integral

Hola.

Fíjate que el triángulo así definido es un plano en tres dimensiones, que responde a una ecuación cartesiana del tipo $Ax + By + Cz = D$. Como tienes tres puntos de este plano, lo tienes definido totalmente: $(A, B, C)$ es un vector normal al plano, que lo puedes determinar como el producto vectorial de los vectores directores de dos rectas no paralelas que pertenecen al plano. Una vez que tengas $(A, B, C)$, $D$ lo determinas sustituyendo un punto del plano.

Apartir de aquí, tienes que $z$ varía entre y $\displaystyle \frac{D - Ax - By}{C}$, que $y$ varía entre y $-x+a$ (esto es la recta que delimita la proyección del plano sobre el plano $XY$) y que $x$ varía entre y $a$.

$\displaystyle \int_0^a \int_0^{-x+a} \int_0^{\frac{D - Ax - By}{C}} x^2+y^2 dz dy dx.$

Saludos.